절댓값 정적분 함수 보기

함수 $\left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 $x$축이 만나는 점의 $x$좌표는 $2 - t$ (ⅰ) $0 < t < 1$일 때 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $x = t$는 그림과 같다.

$y = \left| f \left( x \right) \right|$

$g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t} {\left( - x + 2 - t \right) dx}$$\displaystyle = \left[ - \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x - tx \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2} t ^{2} + 2 t$ (ⅱ) $1 \leq t < 2$일 때 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $x = t$는 그림과 같다.

$y = \left| f \left( x \right) \right|$

$g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{2 - t} {\left( - x + 2 - t \right) dx} + \int _{2 - t} ^{t} {\left( x - 2 + t \right) dx}$$\displaystyle = \left[ - \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x - tx \right] _{0} ^{2 - t}$$\displaystyle + \left[ \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x + tx \right] _{2 - t} ^{t}$ $\displaystyle = \frac{5}{2} t ^{2} - 6 t + 4$ (ⅲ) $t \geq 2$일 때 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프와 직선 $x = t$는 그림과 같다.

$y = \left| f \left( x \right) \right|$

$g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t} {\left( x - 2 + t \right) dx}$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x + tx \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{3}{2} t ^{2} - 2 t$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 함수 $\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} - \frac{3}{2} t ^{2} + 2 t & \left( 0 < t < 1 \right) \\ \frac{5}{2} t ^{2} - 6 t + 4 & \left( 1 \leq t < 2 \right) \\ \frac{3}{2} t ^{2} - 2 t & \left( t \geq 2 \right) \end{cases}}$ ㄱ. $g \left( 1 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left| - x + 1 \right| dx} = \frac{1}{2}$ (참) ㄴ. (ⅰ) $t = 2$에서 연속 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 -} {\left. \left( \frac{5}{2} t ^{2} - 6 t + 4 \right. \right) = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {\left( \frac{3}{2} t ^{2} - 2 t \right)}} = 2$ $g \left( 2 \right) = 2$ (ⅱ) $t = 2$에서 미분가능 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 -} {\frac{g \left( t \right) - g \left( 2 \right)}{t - 2}} = \lim\limits _{t \rightarrow 2 -} {\left( \frac{5}{2} t - 1 \right) = 4}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {\frac{g \left( t \right) - g \left( 2 \right)}{t - 2}} =$$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {\left( \frac{3}{2} t + 1 \right)} = 4$ $\therefore$ 함수 $g \left( t \right)$는 $t = 2$에서 미분가능 (참) ㄷ. 함수 $g \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{2}{3}$ $\displaystyle \frac{6}{5}$ $\displaystyle y = \frac{2}{3}$ $y = g \left( t \right)$

함수 $g \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \frac{2}{3}$에서 극댓값 $\displaystyle \frac{2}{3}$를 가지므로 방정식 $\displaystyle g \left( t \right) = \frac{2}{3}$는 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ