절댓값 정적분 함수

수직선 운동에서 점 P의 속도를 $v ( t ) = t \sin t$로 보면 $\displaystyle \int _{0} ^{x} | t \sin t | dt$, $\displaystyle \int _{0} ^{x} t \sin t dt$는 각각 움직인 거리와 위치의 변화량이다. $\displaystyle \int _{0} ^{\pi} t \sin t dt$$= \left[ - t \cos t + 2 \sin t \right] _{0} ^{\pi}$$= \pi$ $\displaystyle \int _{\pi} ^{2\pi} t \sin t dt$$= \left[ - t \cos t + 2 \sin t \right] _{\pi} ^{2\pi}$$=$$- 3 \pi$ $\displaystyle \int _{2\pi} ^{3\pi} t \sin t dt =$$\left[ - t \cos t + 2 \sin t \right] _{2\pi} ^{3\pi}$$=$$5 \pi$ ㄱ. $f ( 2 \pi ) =$$= ( \pi + 3 \pi ) - | \pi - 3 \pi | = 2 \pi$ ㄴ. $\pi < \alpha < 2 \pi$,$\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} t \sin t dt = 0$이면 $f ( \alpha ) =$$( \pi + \pi ) - | \pi - \pi | = 2 \pi$ ㄷ. $2 \pi <$$\beta \leq x \leq 3 \pi$,$\displaystyle \int _{0} ^{\beta} t \sin t dt = 0$이면 $f ( x )$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} | t \sin t | dt - \left| \int _{0} ^{x} t \sin t dt \right|$ $\displaystyle = 6 \pi + \int _{\beta} ^{x} t \sin t dt - \int _{\beta} ^{x} t \sin t dt$$= 6 \pi$ $\displaystyle \int _{\beta} ^{3\pi} f ( x ) dx =$$6 \pi ( 3 \pi - \beta )$