미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

절댓값 정적분 방정식

문제

xx에 대한 방정식 ∫0x∣t−1∣dt=x\displaystyle \int _{0} ^{x} {\left| t - 1 \right| dt} = x의 양수인 실근이 m+n2\displaystyle m + n \sqrt{2}일 때, m3+n3m ^{3} + n ^{3}의 값을 구하시오. (단, mm, nn은 유리수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 ⅰ) x<1x < 1일 때, ∫0x(−t+1)dt=x\displaystyle \int _{0} ^{x} {( - t + 1 ) dt = x}이므로 −x22+x=x\displaystyle - \frac{x ^{2}}{2} + x = x ∴\therefore x=0x = 0 ⅱ) x≥1x \geq 1일 때, ∫01(−t+1)dt+∫1x(t−1)dt=x\displaystyle \int _{0} ^{1} {( - t + 1 ) dt} + \int _{1} ^{x} {( t - 1 ) dt} = x 12+(x22−x+12)=x\displaystyle \frac{1}{2} + \left( \frac{x ^{2}}{2} - x + \frac{1}{2} \right) = x x2−4x+2=0x ^{2} - 4 x + 2 = 0 ∴\therefore x=2+2(∵x≥1)\displaystyle x = 2 + \sqrt{2} ( \because x \geq 1 ) ⅰ), ⅱ)에 의해 양수인 실근은 x=2+2\displaystyle x = 2 + \sqrt{2}이므로 m=2m = 2, n=1n = 1이다. 따라서 m3+n3=9m ^{3} + n ^{3} = 9

태그

#정적분#절댓값

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