절댓값 적분 함수식

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 함수의 미정계수를 구한다. $\displaystyle a = \int _{0} ^{1} {\left| f ( t ) \right| dt}$라 하면 $a > 0$이고, $f ( x ) = x ^{3} - 4 ax$ $f ( 1 ) = 1 - 4 a > 0$에서 $\displaystyle a < \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{4}$이다. $f ( x ) = x \left( x ^{2} - 4 a \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{\pm} 2 \sqrt{a}$ $\displaystyle 0 < x < 2 \sqrt{a}$일 때 $f \left( x \right) < 0$이고 $\displaystyle x \geq 2 \sqrt{a}$일 때 $f ( x ) \geq 0$이다. $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{4}$에서 $\displaystyle 2 \sqrt{a} < 1$이므로 $a$$\displaystyle = \int _{0} ^{2 \sqrt{a}} {\left\{ - f ( t ) \right\} dt}$$\displaystyle + \int _{2 \sqrt{a}} ^{1} {f ( t ) dt}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2 \sqrt{a}} {\left( - t ^{3} + 4 at \right) dt}$$\displaystyle + \int _{2 \sqrt{a}} ^{1} {\left( t ^{3} - 4 at \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{4} t ^{4} + 2 at ^{2} \right] _{0} ^{2 \sqrt{a}} + \left[ \frac{1}{4} t ^{4} - 2 at ^{2} \right] _{2 \sqrt{a}} ^{1}$ $\displaystyle = 8 a ^{2} - 2 a + \frac{1}{4}$ $\displaystyle 8 a ^{2} - 3 a + \frac{1}{4} = 0$에서 $32 a ^{2} - 12 a + 1 = 0$, $\left( 4 a - 1 \right) \left( 8 a - 1 \right) = 0$ $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{8}$이고 $\displaystyle f ( x ) = x ^{3} - \frac{1}{2} x$ 이때 $\displaystyle f ( 2 ) = 2 ^{3} - \frac{1}{2} \times 2 = 7$