절댓값 적분 함수 극소

$g ( t )$는 그림과 같이 색칠한 영역의 넓이이다.

$\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{e ^{x}}$$= x e ^{-x}$, $f' ( x ) = ( 1 - x ) e ^{-x}$ 이므로 극댓값(최댓값)은 $\displaystyle f ( 1 ) = \frac{1}{e}$$< 1$이므로 ㄱ) $\displaystyle t > \frac{1}{e}$이면 $\displaystyle g ( t ) = \int _{0} ^{12} ( t - f ( x ) ) dx$$\displaystyle = 12 t - \int _{0} ^{12} f ( x ) dx$ 이므로 $g' ( 1 ) = 12$ ㄴ) $\displaystyle \frac{12}{e ^{12}} \leq t \leq \frac{1}{e}$일 때 $f ( x ) = t$는 두 실근 $a$, $b$ $( a < b )$를 갖는다.

$\displaystyle g ( t ) = \int _{0} ^{a} {( t - f ( x ) ) dx + \int _{a} ^{b} {( f ( x ) - t ) dx} + \int _{b} ^{12} {( t - f ( x ) ) dx}}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{12} {( t - f ( x ) ) dx + 2 \int _{a} ^{b} {( f ( x ) - t ) dx}}$ $\displaystyle = t \int _{0} ^{12} {dx} - \int _{0} ^{12} {f ( x ) dx} + 2 \int _{a} ^{b} {f ( x ) dx} - 2 t \int _{a} ^{b} {dx}$ $g' ( t ) = 12 - 0 + 2 ( f ( b ( t ) ) \times b' ( t ) - f ( a ( t ) ) \times a' ( t ) )$ $- 2 ( b ( t ) - a ( t ) ) - 2 t ( b' ( t ) - a' ( t ) )$ $= 12 - 2 ( b - a )$ $g' ( k ) = 12 - 2 ( b - a ) = 0$ $\therefore b - a = 6 , b = a + 6$ 따라서 $f ( a ) = f ( a + 6 )$이므로 $\displaystyle \frac{a}{e ^{a}} = \frac{a + 6}{e ^{a+6}}$, 즉 $\displaystyle \frac{a + 6}{a} = e ^{6}$ 즉 $\displaystyle \ln \left( \frac{6}{a} + 1 \right) = \ln e ^{6} = 6$ 이다. ㄱ), ㄴ)에서 $\therefore$ $\displaystyle g' ( 1 ) + \ln \left( \frac{6}{a} + 1 \right) = 12 + 6 = 18$