절댓값 적분 함수

모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq 0$이면 $x > 0$일 때 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt + \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt = 2 \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt$ $g' \left( x \right) = 2 f \left( x \right) \geq 0$ 함수 $g \left( x \right)$는 $x > 0$에서 증가하므로 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $f \left( x \right) = a \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right)$를 만족시키는 세 실수 $a$, $\alpha$, $\beta \left( a > 0 \right.$, $\alpha < \beta )$가 존재한다. $\beta \leq 0$이면 (나)를 만족시키지 않고, $\alpha \geq 0$이면 $x \leq 0$에서 $g \left( x \right) = 0$이므로 (가)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $\alpha < 0 < \beta$이고 $f \left( 0 \right) < 0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\gamma} f \left( x \right) dx = 0$을 만족시키는 실수 $\gamma \left( \beta < \gamma \right)$가 존재한다.

(ⅰ) $x \leq 0$일 때 $\alpha \leq x \leq 0$인 $x$에 대하여 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{x} ^{0} f \left( t \right) dt - \int _{x} ^{0} f \left( t \right) dt = 0$ $\cdots \cdots$㉠ $x < \alpha$인 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{x} ^{\alpha} f \left( t \right) dt > 0$, $\displaystyle \int _{\alpha} ^{0} f \left( t \right) dt < 0$이므로 $g \left( x \right)$$\displaystyle = - \int _{x} ^{\alpha} f \left( t \right) dt + \int _{\alpha} ^{0} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle + \left| \int _{x} ^{\alpha} f \left( t \right) dt + \int _{\alpha} ^{0} f \left( t \right) dt \right| < 0$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에 의해 $\alpha = - 7$ (ⅱ) $x > 0$일 때 $0 < x < \beta$인 $x$에 대하여 $g \left( x \right)$$\displaystyle = - \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt - \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt$$\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt$ $g' \left( x \right) = - 2 f \left( x \right) > 0$ $g \left( x \right)$는 $0 < x < \beta$에서 증가한다. $\cdots \cdots$㉢ $\beta \leq x \leq \gamma$인 $x$에 대하여 $g \left( x \right)$$\displaystyle = - \int _{0} ^{\beta} f \left( t \right) dt + \int _{\beta} ^{x} f \left( t \right) dt - \int _{0} ^{x} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{\beta} f \left( t \right) dt$ $\beta \leq x \leq \gamma$에서 $g \left( x \right) = c \left( c \right.$는 상수$\left. \right)$ $\cdots \cdots$㉣ $x > \gamma$인 $x$에 대하여 $g \left( x \right)$$\displaystyle = - \int _{0} ^{\beta} {} f \left( t \right) dt + \int _{\beta} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle + \left| \int _{0} ^{\gamma} {} f \left( t \right) dt + \int _{\gamma} ^{x} {} f \left( t \right) dt \right|$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{\beta} f \left( t \right) dt + \int _{\beta} ^{x} f \left( t \right) dt + \int _{\gamma} ^{x} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{\beta} f \left( t \right) dt + 2 \int _{\gamma} ^{x} f \left( t \right) dt$ $g' \left( x \right) = 2 f \left( x \right) > 0$ $g \left( x \right)$는 $x > \gamma$에서 증가한다. $\cdots \cdots$㉤ ㉢, ㉣, ㉤에 의해 $\beta = 4 p$, $\gamma = 7 p$ $\displaystyle - 2 \int _{0} ^{\beta} f \left( t \right) dt = - 2 \int _{0} ^{4 p} f \left( t \right) dt = 81$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $f \left( x \right) = a \left( x + 7 \right) \left( x - 4 p \right) = a \left\{ x ^{2} + \left( 7 - 4 p \right) x - 28 p \right\}$ $\displaystyle \int _{0} ^{\gamma} f \left( x \right) dx = \int _{0} ^{7 p} f \left( x \right) dx = \frac{49}{6} ap ^{2} \left( 2 p - 3 \right) = 0$ $a > 0$, $p > 0$이므로 $\displaystyle p = \frac{3}{2}$, $\beta = 6$ $f \left( x \right) = a \left( x + 7 \right) \left( x - 6 \right) = a \left( x ^{2} + x - 42 \right)$ $\displaystyle \int _{0} ^{\beta} f \left( x \right) dx = \int _{0} ^{6} a \left( x ^{2} + x - 42 \right) dx = - 162 a = - \frac{81}{2}$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} \left( x + 7 \right) \left( x - 6 \right)$이므로 $f \left( - 10 \right) = 12$