절댓값 이차함수 교점

[출제의도] 수학 내적 문제 해결능력-함수의 극한과 연속 $g ( x ) = \left| ax ^{2} - 3 x \right|$라 하면 $a > 0$이므로 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} ax ^{2} - 3 x & \left( x < 0 \text{또는} x > \frac{3}{a} \right) \\ - ax ^{2} + 3 x & \left( 0 \leq x \leq \frac{3}{a} \right) \end{cases}}$ 직선 $y = ax + t$가 $t$의 값이 $- \infty$부터 증가하여 곡선 $y = \left| ax ^{2} - 3 x \right|$와 처음으로 만날 때의 $t$의 값을 $t _{1}$이라 하자. 이때 함수 $f ( t )$는 $t = t _{1}$에서 항상 불연속이므로 함수 $f ( t )$의 불연속인 실수 $t$의 개수가 1이려면 $\displaystyle f ( t ) = {\begin{cases} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} ( t < t _{1} ) \\ ( t = t _{1} ) \end{matrix} \\ 2 & ( t > t _{1} ) \end{cases}}$ 이어야 한다. 따라서 그림과 같이 곡선 $y = - ax ^{2} + 3 x$의 $x = 0$에서의 접선의 기울기가 $a$이하이어야 한다.

$y' = - 2 ax + 3$에서 $x = 0$일 때 $y' = 3$이므로 $a \geq 3$ 따라서 $a$의 최솟값은 3이다.