절댓값 이차함수 부등식

[출제의도] 절댓값과 이차함수의 성질을 이용하여 상수의 최솟값을 구한다. $x ^{2} + 2 x - 8$$= ( x + 4 ) ( x - 2 ) = 0$ $x = \mathit{-} 4$ 또는 $x = 2$ 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 $x = \mathit{-} 4$와 $x = 2$이다. 부등식 $\displaystyle \frac{| f ( x ) |}{3} - f ( x ) \geq m ( x - 2 )$에서 (ⅰ) $f ( x ) \geq 0$, 즉 $x \leq \mathit{-} 4$ 또는 $x \geq 2$일 때 $\displaystyle \frac{f ( x )}{3} - f ( x ) \geq m ( x - 2 )$이므로 $\displaystyle - \frac{2}{3} f ( x ) \geq m ( x - 2 )$ (ⅱ) $f ( x ) < 0$, 즉 $- 4 < x < 2$일 때 $\displaystyle - \frac{f ( x )}{3} - f ( x ) \geq m ( x - 2 )$이므로 $\displaystyle - \frac{4}{3} f ( x ) \geq m ( x - 2 )$ 여기서 $\displaystyle g ( x ) = \mathit{-} \frac{4}{3} f ( x )$, $\displaystyle h ( x ) = \mathit{-} \frac{2}{3} f ( x )$라 하면 $\displaystyle \frac{| f ( x ) |}{3} - f ( x )$$\displaystyle = {\begin{cases} g ( x ) _{{} _{}} ^{{} ^{}} & ( - 4 < x < 2 ) \begin{matrix} \\ \end{matrix} \\ h ( x ) _{{} _{}} ^{{} ^{}} & ( x \leq \mathit{-} 4 , x \geq 2 ) \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{cases}}$ 한편, 직선 $y = m ( x - 2 )$는 점 $( 2 , 0 )$을 지나고 기울기 $m$이 양수이므로 함수 $\displaystyle y = \frac{| f ( x ) |}{3} - f ( x )$의 그래프와 직선 $y = m ( x - 2 )$를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

직선 $y = m ( x - 2 )$와 함수 $\displaystyle y = \frac{| f ( x ) |}{3} - f ( x )$의 그래프의 교점의 $x$좌표를 $t$($t < \mathit{-} 4$)라 하면 부등식 $\displaystyle \frac{| f ( x ) |}{3} - f ( x ) \geq m ( x - 2 )$ 의 해는 $t \leq x \leq 2$ $t \leq x \leq 2$인 정수 $x$의 개수가 $10$이 되기 위한 실수 $t$의 범위는 $- 8 < t \leq - 7$이고, $m$의 값의 범위는 직선$y = m ( x - 2 )$가 점 $( - 7 , h ( - 7 ) )$을 지날 때보다 크거나 같고, 점 $( - 8 , h ( - 8 ) )$을 지날 때보다 작다. $t = \mathit{-} 7$일 때 $\displaystyle h ( - 7 ) = \mathit{-} \frac{2}{3} \left\{ \left( - 7 \right) ^{2} + 2 \times \left( - 7 \right) - 8 \right\}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{2}{3} \times 27 = \mathit{-} 18$ 이므로 $\displaystyle m = \frac{0 - \left( - 18 \right)}{2 - \left( - 7 \right)} = 2$ …… ㉠ $t = \mathit{-} 8$일 때 $\displaystyle h ( - 8 ) = \mathit{-} \frac{2}{3} \left\{ \left( - 8 \right) ^{2} + 2 \times \left( - 8 \right) - 8 \right\}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{2}{3} \times 40 = \mathit{-} \frac{80}{3}$ 이므로 $\displaystyle m = \frac{0 - \left( - \frac{80}{3} \right)}{2 - \left( - 8 \right)} = \frac{8}{3}$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $m$의 범위는 $\displaystyle 2 \leq m < \frac{8}{3}$ 따라서 $m$의 최솟값은 $2$이다.