절댓값 합 조건 등차수열

[출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기 $a _{n} + b _{n} = 2 + \left( n - 1 \right) \left( l + m \right)$이므로 수열 $\left\{ a _{n} + b _{n} \right\}$은 첫째항이 $2$이고 공차가 정수 $l + m$인 등차수열이다. $l + m \geq 0$이라 하면 수열 $\left\{ \left| a _{n} + b _{n} \right| \right\}$은 첫째항이 $2$이고 공차가 $l + m$인 등차수열이다. 공차 $l + m$이 정수이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left| a _{k} + b _{k} \right| = \frac{10 \left\{ 2 \times 2 + 9 \left( l + m \right) \right\}}{2} = 31$에서 $\displaystyle l + m = \frac{11}{45}$을 만족시키는 두 정수 $l$, $m$은 존재하지 않는다. $l + m \leq \mathit{-} 2$라 하면 수열 $\left\{ \left| a _{n} + b _{n} \right| \right\}$은 첫째항과 제$2$항이 각각 $2$, $\left| a _{2} + b _{2} \right|$이고, 제$2$항부터 공차가 $\left| l + m \right|$인 등차수열이다. 공차 $\left| l + m \right|$이 정수이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left| a _{k} + b _{k} \right| = 2 + \frac{9 \left( 2 \left| a _{2} + b _{2} \right| + 8 \left| l + m \right| \right)}{2} = 31$에서 $\displaystyle \left| a _{2} + b _{2} \right| + 4 \left| l + m \right| = \frac{29}{9}$를 만족시키는 두 정수 $l$, $m$은 존재하지 않는다. $l + m = \mathit{-} 1$이라 하면 수열 $\left\{ \left| a _{n} + b _{n} \right| \right\}$은 첫째항, 제$2$항, 제$3$항이 각각 $2$, $1$, $0$이고, 제$3$항부터 공차가 $1$인 등차수열이다. 이때 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left| a _{k} + b _{k} \right| = 2 + 1 + \frac{8 \times \left( 2 \times 0 + 7 \times 1 \right)}{2} = 31$ 따라서 $l + m = \mathit{-} 1$ $m = \mathit{-} l - 1$에서 $b _{n} = \mathit{-} 10 + \left( n - 1 \right) \left( - l - 1 \right)$ $\left| a _{3} \right| = \left| 12 + 2 l \right|$, $\left| b _{3} \right| = \left| - 12 - 2 l \right|$이므로 두 정수 $l$, $m$에 관계없이 $\left| a _{3} \right| = \left| b _{3} \right|$이 성립한다. (ⅰ) $l \geq 0$일 때 $m < 0$이고 모든 자연수 $k$에 대하여 $a _{k} > 0$, $b _{k} < 0$이다. $\left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| = a _{k} + b _{k}$$= 3 - k$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right) = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( 3 - k \right) = \mathit{-} 25$ (ⅱ) $- 4 \leq l \leq \mathit{-} 1$일 때 (a) $l = \mathit{-} 1$인 경우 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right)$ $= 2 + 1 + 0 + \left( - 1 \right) + \left( - 2 \right) + \left( - 3 \right) + \left( - 4 \right)$$+ \left( - 5 \right) + \left( - 6 \right) + \left( - 7 \right)$ $= \mathit{-} 25$ (b) $l = \mathit{-} 2$인 경우 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right)$ $= 2 + 1 + 0 + \left( - 1 \right) + \left( - 2 \right) + \left( - 3 \right) + \left( - 4 \right)$$+ \left( - 1 \right) + 2 + 5$ $= \mathit{-} 1$ (c) $l = \mathit{-} 3$인 경우 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right)$ $= 2 + 1 + 0 + \left( - 1 \right) + \left( - 2 \right) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7$ $= 25$ (d) $l = \mathit{-} 4$인 경우 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right)$$= 2 + 1 + 0 + \left( - 1 \right) + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7$ $= 29$ (ⅲ) $- 11 \leq l \leq \mathit{-} 5$일 때 $\left| a _{1} \right| - \left| b _{1} \right| = 2$, $\left| a _{2} \right| - \left| b _{2} \right| = \left( 12 + l \right) - \left( 11 + l \right) = 1$이고, $k \geq 3$인 자연수 $k$에 대하여 $\left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right|$ $= \mathit{\left\{ - 12 - \left( k - 1 \right) l \right\}} + \left\{ 10 + \left( k - 1 \right) \left( l + 1 \right) \right\}$ $= k - 3$$\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right) = 2 + 1 + \sum\limits _{k = 3} ^{10} \left( k - 3 \right) = 31$ (ⅳ) $l \leq \mathit{-} 12$일 때 $\left| a _{1} \right| - \left| b _{1} \right| = 2$, $\left| a _{2} \right| - \left| b _{2} \right| = \left( \mathit{-} 12 - l \right) - \left( - 11 - l \right) = \mathit{-} 1$이고, $k \geq 3$인 자연수 $k$에 대하여 $\left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right|$$= \mathit{\left\{ - 12 - \left( k - 1 \right) l \right\}} - \left\{ - 10 - \left( k - 1 \right) \left( l + 1 \right) \right\}$ $= k - 3$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \left| a _{k} \right| - \left| b _{k} \right| \right) = 2 + \left( - 1 \right) + \sum\limits _{k = 3} ^{10} \left( k - 3 \right)$$= \mathit{29}$ (ⅰ) ~ (ⅳ)에서 구하는 모든 순서쌍 $\left( l , m \right)$은 $\left( - 11 , 10 \right)$, $\left( - 10 , 9 \right)$, $\left( - 9 , 8 \right)$, $\cdots$, $\left( - 5 , 4 \right)$ 이므로 개수는 $7$이다.