절댓값 합 최소 빈칸

$a _{3} + a _{5} = 2 a _{4}$이므로 $a _{3} + a _{5} = 2$에서 $a _{4} = {\square {1}}$ 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 $a _{1} = 1 - 3 d$, $a _{2} = 1 - 2 d$, $a _{3} = 1 - d$, $a _{4} = 1$, $a _{5} = 1 + d$ $d > 1$이므로 $a _{1} < 0$, $a _{2} < 0$, $a _{3} < 0$, $a _{5} > 0$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} ^{2}$과 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left| a _{k} \right|$를 각각 $d$에 대한 식으로 나타내면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} a _{k} ^{2}$$= ( 1 - 3 d ) ^{2} + ( 1 - 2 d ) ^{2} + ( 1 - d ) ^{2} + 1 ^{2} + ( 1 + d ) ^{2}$ $= 15 d ^{2} - 10 d + 5$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left| a _{k} \right|$$= \left| 1 - 3 d \right| + \left| 1 - 2 d \right| + \left| 1 - d \right| + \left| 1 \right| + \left| 1 + d \right|$ $= ( 3 d - 1 ) + ( 2 d - 1 ) + ( d - 1 ) + 1 + ( 1 + d )$ $= {\square {7 d - 1}}$ 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( a _{k} ^{2} - 5 \left| a _{k} \right| \right)$$= ( 15 d ^{2} - 10 d + 5 ) - 5 ( 7 d - 1 )$ $= 15 d ^{2} - 45 d + 10$ $\displaystyle = 15 \left( d - \frac{3}{2} \right) ^{2} - \frac{95}{4}$ $d > 1$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( a _{k} ^{2} - 5 \left| a _{k} \right| \right)$의 값이 최소가 되도록 하는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차는 $\displaystyle {\square {\frac{3}{2}}}$이다. 따라서 $p = 1$, $\displaystyle q = \frac{3}{2}$, $f ( d ) = 7 d - 1$이므로 $f ( p + 2 q ) = f ( 4 ) = 27$