절댓값 함수의 정적분으로 정의된 함수의 최솟값

$\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 \left( x - 2 \right) & & \left( x < 2 \right) \\ 4 \left( x - 2 \right) & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$에서 $\displaystyle \left| f \left( x \right) \right| = {\begin{cases} - 2 x + 4 & & \left( x < 2 \right) \\ 4 x - 8 & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$이고 $\displaystyle g \left( t \right) = \int _{t - 1} ^{t + 2} {} \left| f \left( x \right) \right| dx$를 실수 $t$의 값의 범위에 따라 구간을 나누어 보면 다음과 같다. (ⅰ) $t < 0$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{t - 1} ^{t + 2} {} \left( - 2 x + 4 \right) dx$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 4 x - x ^{2} \end{array} \right] _{t - 1} ^{t + 2}$$= - 6 t + 9$ (ⅱ) $0 \leq t < 3$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{t - 1} ^{2} {} \left( - 2 x + 4 \right) dx + \int _{2} ^{t + 2} {} \left( 4 x - 8 \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 4 x - x ^{2} \end{array} \right] _{t - 1} ^{2} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 2 x ^{2} - 8 x \end{array} \right] _{2} ^{t + 2}$$= 3 t ^{2} - 6 t + 9$ $= 3 \left( t - 1 \right) ^{2} + 6$ (ⅲ) $t \geq 3$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{t - 1} ^{t + 2} {} \left( 4 x - 8 \right) dx$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 2 x ^{2} - 8 x \end{array} \right] _{t - 1} ^{t + 2}$$= 12 t - 18$ 이상에서 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프의 개형을 나타내면 그림과 같다.

따라서 함수 $g \left( t \right)$는 $t = 1$에서 최솟값 $6$을 가지므로 $a = 1$, $b = 6$에서 $a + b = 7$