미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

절댓값 함수의 극값 개수 조건

문제

자연수 nn에 대하여 함수 f(x)f \left( x \right)=∣x2−4∣(x2+n)= \left| x ^{2} - 4 \right| \left( x ^{2} + n \right) 이 xx=a= a에서 극값을 갖는 aa의 개수가 44 이상일 때, f(x)f \left( x \right)의 모든 극값의 합이 최대가 되도록 하는 nn의 값은? [5점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

f(x)f \left( x \right)={(x2−4)(x2+n)(x<−2또는x>2)−(x2−4)(x2+n)(−2≤x≤2)\displaystyle = {\begin{cases} \left( x ^{2} - 4 \right) \left( x ^{2} + n \right) & & & \left( x < \mathit{-} 2 \text{또는} x > 2 \right) \\ - \left( x ^{2} - 4 \right) \left( x ^{2} + n \right) & & & \left( - 2 \leq x \leq 2 \right) \end{cases}} 에서 양변을 미분하면 f′(x)f' \left( x \right)={4x3+2(n−4)x(x<−2또는x>2)−4x3−2(n−4)x(−2<x<2)\displaystyle = {\begin{cases} 4 x ^{3} + 2 ( n - 4 ) x & & & \left( x < \mathit{-} 2 \text{또는} x > 2 \right) \\ - 4 x ^{3} - 2 ( n - 4 ) x & & & \left( - 2 < x < 2 \right) \end{cases}} 즉, f(x)=∣x2−4∣(x2+n)f ( x ) = \left| x ^{2} - 4 \right| ( x ^{2} + n )에서 x=−2x = - 2와 x=2x = 2에서 항상 극소이고 f′(x)=2x{2x2+(n−4)x}f' ( x ) = 2 x \left\{ 2 x ^{2} + ( n - 4 ) x \right\}에서 x=0x = 0에서 극값을 가지며 극값의 개수가 44이상이므로 n<4n < 4가 된다. 따라서 만족하는 자연수 nn은 n=n =1,2,31 , 2 , 3 그런데, f(x)=∣x2−4∣(x2+n)≥0f ( x ) = \left| x ^{2} - 4 \right| ( x ^{2} + n ) \geq 0이므로 극값의 합이 최대가 되는 경우는 n=3n = 3일 때이다.

태그

#극값#절댓값 함수

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