절댓값 함수 미분가능

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 $x \geq 0$일 때 $f' \left( x \right) = x \left( x - 2 \right) e ^{x}$$\left( x > 0 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 2$ $f \left( 0 \right) = 4 + k$

$y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} 0 _{{} _{}} & \left( f \left( x \right) \geq 0 \right) _{{} _{}} \\ - 2 f \left( x \right) ^{{} ^{}} & \left( f \left( x \right) < 0 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$이므로 $k$의 값의 범위에 따라 $y = g \left( x \right)$의 그래프를 그리면 다음과 같다. ⅰ) $k \geq 0$일 때

$x = 0$에서 연속이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x - 0} = \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{2 x ^{2}}{x} = 0}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x - 0} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{0}{x} = 0}}$이므로 $x = 0$에서 미분가능하다. $\therefore$미분가능하지 않은 점의 개수는 $0$ ⅱ) $- 4 < k < 0$일 때

$\therefore$미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$ ⅲ) $k = - 4$일 때

$x = 0$에서 연속이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 0} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x - 0} = \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x - 0}}} = 0$ 이므로 $x = 0$에서 미분가능하다. $\therefore$미분가능하지 않은 점의 개수는 $1$ ⅳ) $k < - 4$일 때

$\therefore$$x = 0$에서는 불연속이고, 연속이면서 미분가능하지 않은 점의 개수는 $1$ ⅰ)～ⅳ)에 의하여 $- 4 < k < 0$이고 정수 $k$의 개수는 $3$