절댓값 함수 미분가능

[출제의도] 절댓값을 포함한 함수의 미분가능성을 판단할 수 있는가? $f' ( x )$$= 3 x ^{2} - 6 x - 9$$= 3 ( x + 1 ) ( x - 3 )$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = - 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f ( x )$는 $x = - 1$에서 극댓값 $f ( - 1 ) = - 7$을 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $f ( 3 ) = - 39$를 갖는다. 조건 (가)에서 $x g ( x ) = \left| x f ( x - p ) + qx \right|$ 이므로 $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} \left| f ( x - p ) + q \right| & ( x > 0 ) \\ - \left| f ( x - p ) + q \right| & ( x < 0 ) \end{cases}$ 함수 $g ( x )$가 $x = 0$에서 연속이므로 $\left| f ( - p ) + q \right| = - \left| f ( - p ) + q \right|$ 즉, $\left| f ( - p ) + q \right| = 0$이어야 한다. 한편, 함수 $y = \left| f ( x - p ) + q \right|$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동시킨 후, $y < 0$인 부분에 그려진 부분을 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 것이다. 이때, $p , q$가 모두 양수이고 조건 (나)에서 함수 $g ( x )$가 $x = a$에서 미분가능하지 않은 실수 $a$의 개수가 $1$이므로 $p = 1 ,$ $q = 7$이어야 한다. 따라서 $p + q = 1 + 7 = 8$