절댓값 함수 교점 개수

(ⅰ) $0 < k < 2$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) - k \right|$의 그래프가 직선 $y = 2 p$와 만나는 점의 개수가 $2$이므로 $2 p = 4 - k$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. 함수 $y = \left| f \left( x \right) - k \right|$의 그래프가 직선 $y = p$와 만나는 점의 개수가 $3$이므로 $p \geq k$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. ㉠, ㉡에 의하여 조건을 만족시키는 양수 $k$의 값의 범위는 $2 p = 4 - k \geq 2 k$ $\displaystyle k \leq \frac{4}{3}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle 0 < k \leq \frac{4}{3}$이다. (ⅱ) $k = 2$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) - k \right|$의 그래프와 직선 $y = p$가 만나는 점의 개수가 $3$이 되도록 하는 양수 $p$가 존재하지 않는다. (ⅲ) $2 < k < 4$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) - k \right|$의 그래프가 직선 $y = p$와 만나는 점의 개수가 $3$이므로 $p = 4 - k$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. 함수 $y = \left| f \left( x \right) - k \right|$의 그래프가 직선 $y = 2 p$와 만나는 점의 개수가 $2$이므로 $2 p < k$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. ㉠, ㉡에 의하여 조건을 만족시키는 양수 $k$의 값의 범위는 $8 - 2 k < k$ $\displaystyle k > \frac{8}{3}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{8}{3} < k < 4$이다. (ⅳ) $k \geq 4$인 경우

함수 $y = \left| f \left( x \right) - k \right|$의 그래프가 직선 $y = p$와 만나는 점의 개수가 $3$이 되도록 하는 양수 $p$가 존재하지 않는다. 그러므로 (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 조건을 만족시키는 모든 양수 $k$의 값의 집합은 $\displaystyle \left\{ k \left| 0 < k \leq \frac{4}{3} \right. \right.$ 또는 $\displaystyle \frac{8}{3} < k < 4 \begin{matrix} \\ \end{matrix} \}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \alpha = \frac{4}{3}$, $\displaystyle \beta = \frac{8}{3}$, $\gamma = 4$이므로 $\alpha + \beta + \gamma = 8$이다.