절댓값 방정식 실근

[출제의도] 도함수를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는가? 함수 $g \left( x \right)$를 $g \left( x \right)$$= f \left( x \right) + \left| f \left( x \right) + x \right| - 6 x$ 라 하면 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - 7 x & \left( f \left( x \right) < \mathit{-} x \right) \\ 2 f \left( x \right) - 5 x & \left( f \left( x \right) \geq - x \right) \end{cases}}$ 이고, 주어진 방정식은 $g ( x )$$= k$와 같다. $f \left( x \right)$$= \mathit{-} x$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{3} - \frac{9}{2} x ^{2} + 10 x$$= \mathit{-} x$ $\displaystyle \frac{x}{2} \left( x ^{2} - 9 x + 22 \right)$$= 0$ 이때 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} - 9 x + 22$$\displaystyle = \left( x - \frac{9}{2} \right) ^{2} + \frac{7}{4} > 0$ 이므로 곡선 $y$$= f \left( x \right)$와 직선 $y$$= \mathit{-} x$는 오직 원점 $\left( 0 , 0 \right)$에서만 만난다. 따라서 함수 $h \left( x \right)$를 $h \left( x \right)$$= 2 {}$$f \left( x \right)$$- 5 x$$= x ^{3} - 9 x ^{2} + 15 x$ 라 하면 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - 7 x & \left( x < 0 \right) \\ h \left( x \right) & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ 이다. $h' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} - 18 x + 15$$= 3 \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right)$ 이므로 $h' \left( x \right)$$= 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = 5$ 따라서 함수 $h \left( x \right)$는 $x$$= 1$에서 극댓값 $h \left( 1 \right)$$= 1 - 9 + 15$$= 7$ 을 갖고, $x$$= 5$에서 극솟값 $h \left( 5 \right)$$= 125 - 225 + 75$$= \mathit{-} 25$ 를 갖는다. 따라서 함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되기 위해서는 곡선 $y$$= g \left( x \right)$와 직선 $y$$= k$의 교점의 개수가 $4$이어야 하므로 실수 $k$의 값의 범위는 $0 < k < 7$ 이다. 따라서 모든 정수 $k$의 값의 합은 $1 + 2 + 3 + \cdots + 6$ $\displaystyle = \frac{6}{2} \left( 1 + 6 \right)$$= 21$