공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절댓값 1인 복소수 집합

문제

집합 A={z∣z=a+bi,a2+b2=1,a,bA = \left\{ \mathit{z} | z = a + bi , a ^{2} + b ^{2} = 1 , a , b \right.는 실수}\}가 있다. 이 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}이고 z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이다.) [3점]

<보기>
ㄱ. 12+12i∈A\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \in A ㄴ. z∈Az \in A이면 z‾∈A\displaystyle \overline{z} \in A ㄷ. z∈Az \in A이면 zz‾=1\displaystyle z \overline{z} = 1

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 복소수의 연산을 이해할 수 있다. ㄱ. (12)2+(12)2=12≠1\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} = \frac{1}{2} \ne 1이므로 12+12i∉A\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \not \in A ㄴ. z=a+bi∈Az = a + bi \in A라 하면 z‾=a−bi\displaystyle \overline{z} = a - bi a2+(−b)2=a2+b2=1a ^{2} + ( - b ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = 1 ∴ z‾∈A\displaystyle \overline{z} \in A ㄷ. zz‾=(a+bi)(a−bi)\displaystyle z \overline{z} = ( a + bi ) ( a - bi )=a2+b2=1= a ^{2} + b ^{2} = 1 ∴ zz‾=1\displaystyle z \overline{z} = 1 따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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#켤레복소수#집합#보기

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