미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분함수의 극값

문제

정의역이 {x∣x>2}\left\{ x | x > 2 \right\}인 함수 f(x)=∫2x{(log⁡2t)2−6log⁡2t+5}dt\displaystyle f ( x ) = \int _{2} ^{x} {\left\{ ( \log _{2} t ) ^{2} - 6 \log _{2} t + 5 \right\} dt} 가 x=ax = a에서 극값을 가질 때, 실수 aa의 값은? [3점] ①32②33③34④35⑤36

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①

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해설

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. f′(x)=(log⁡2x)2−6log⁡2x+5f' ( x ) = ( \log _{2} x ) ^{2} - 6 \log _{2} x + 5 함수 f(x)f ( x )는 x=ax = a에서 극값을 가지므로 f′(a)=0f' ( a ) = 0 f′(a)=(log⁡2a)2−6log⁡2a+5f' ( a ) = ( \log _{2} a ) ^{2} - 6 \log _{2} a + 5=(log⁡2a−1)(log⁡2a−5)=0= ( \log _{2} a - 1 ) ( \log _{2} a - 5 ) = 0 이므로 log⁡2a=1\log _{2} a = 1 또는 log⁡2a=5\log _{2} a = 5 따라서 a>2a > 2이므로 a=32a = 32

태그

#정적분으로 정의된 함수#극값

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