미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분함수의 최솟값

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=∫0x2t−1t2−t+1dt\displaystyle f ( x ) = \int _{0} ^{x} {} \frac{2 t - 1}{t ^{2} - t + 1} dt 의 최솟값은? [3점] ①ln⁡12\displaystyle \ln \frac{1}{2}②ln⁡23\displaystyle \ln \frac{2}{3}③ln⁡34\displaystyle \ln \frac{3}{4}④ln⁡45\displaystyle \ln \frac{4}{5}⑤ln⁡56\displaystyle \ln \frac{5}{6}

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③

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해설

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이해하고 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. f′(x)f' ( x )=2x−1x2−x+1\displaystyle = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1}=0= 0에서 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}이고 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}의 좌우에서 f′(x)f' ( x )의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 f(x)f ( x )는 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}에서 극소이면서 최소이다. f(12)\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right)=∫0122t−1t2−t+1dt\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {} \frac{2 t - 1}{t ^{2} - t + 1} dt=∫012(t2−t+1)′t2−t+1dt\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {} \frac{\left( t ^{2} - t + 1 \right)'}{t ^{2} - t + 1} dt =[ln⁡∣t2−t+1∣]012\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \ln \left| t ^{2} - t + 1 \right| \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{\frac{1}{2}}=ln⁡34\displaystyle = \ln \frac{3}{4}

태그

#정적분으로 정의된 함수#치환적분

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