적분함수가 극값 하나일 조건

$f ( x ) = x ^{3} - 3 x + a$에 대하여 $\displaystyle F ( x ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$이므로 $F' ( x ) = f ( x )$, $F ( 0 ) = 0$ 이때, $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3$$= 3 ( x + 1 ) ( x - 1 )$에서 $F' ( x ) = f ( x )$는 $x = - 1$ 또는 $x = 1$일 때 극값을 가진다. 한편, 함수 $F ( x )$가 오직 하나의 극값을 가지려면 $y = F ( x )$의 그래프의 개형이 다음 두 그래프 중 하나와 같아야 한다.

따라서 $F ( x )$가 오직 하나의 극값을 가지려면 $f ( - 1 ) \leq 0$ 또는 $f ( 1 ) \geq 0$이어야 하므로 $f ( - 1 ) \leq 0$에서 $a \leq - 2$, $f ( 1 ) \geq 0$에서 $a \geq 2$ 따라서 양수 $a$의 최솟값은 $2$이다. [다른 풀이] $\displaystyle F ( x ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$이므로 $F' ( x ) = f ( x )$, $F ( 0 ) = 0$ $F ( x )$가 오직 하나의 극값을 가지므로 $F' ( x )$, 즉 $f ( x )$의 부호가 오직 한 번 변해야 한다. 따라서 삼차함수 $f ( x )$가 $x$축과 오직 한 번 만나거나 $x$축과 접해야 한다. $f ( x ) = x ^{3} - 3 x + a$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 3 = 3 ( x - 1 ) ( x + 1 )$이므로 부등식 $f ( 1 ) \times f ( - 1 ) \geq 0$이 성립해야 한다. $( - 2 + a ) ( 2 + a ) \geq 0$ $\therefore a \leq - 2$ 또는 $a \geq 2$ 따라서 양수 $a$의 최솟값은 $2$이다.