적분함수 대소 조건

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 함숫값을 구할 수 있는가 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f \left( x \right)$의 부정적분 중 하나를 $F \left( x \right)$라 하면 $F' \left( x \right) = f \left( x \right)$ 이고 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt$$= F \left( x \right) - F \left( 0 \right)$ 이므로 $g' \left( x \right) = f \left( x \right)$ 그러므로 함수 $g \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 삼차함수이다. 조건에서 $x {\geq} 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) {\geq} g \left( 4 \right)$이므로 삼차함수 $g \left( x \right)$는 구간 $[ 1 , \infty )$에서 $x = 4$일 때 최소이자 극소이다. $\cdots \cdots$ ㉠ 즉, $g' \left( 4 \right) = f \left( 4 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = \left( x - 4 \right) \left( x - a \right)$ ($a$는 상수) $\cdots \cdots$ ㉡ 로 놓을 수 있다. (ⅰ) $g \left( 4 \right) {\geq} 0$인 경우 $x {\geq} 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) {\geq} g \left( 4 \right) {\geq} 0$이므로 이 범위에서 $| g \left( x \right) | = g \left( x \right)$이다. 조건에서 $x {\geq} 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $| g \left( x \right) | {\geq} | g \left( 3 \right) |$, 즉 $g \left( x \right) {\geq} g \left( 3 \right)$이어야 한다. $\cdots \cdots$ ㉢ 그런데 ㉠에서 $g \left( 3 \right) > g \left( 4 \right)$이므로 ㉢을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $g \left( 4 \right) < 0$인 경우 $x {\geq} 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $| g \left( x \right) | {\geq} | g \left( 3 \right) |$이려면 $g \left( 3 \right) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉣ 이어야 한다. ㉡에서 $f \left( x \right) = x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + 4 a$이므로 $\displaystyle F \left( x \right) = \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{a + 4}{2} x ^{2} + 4 ax + C$ (단, $C$는 적분상수) 그러므로 $g \left( x \right)$$= F \left( x \right) - F \left( 0 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} x ^{3} - \frac{a + 4}{2} x ^{2} + 4 ax$ ㉣에서 $g \left( 3 \right)$$\displaystyle = 9 - \frac{9}{2} \left( a + 4 \right) + 12 a = 0$ $\displaystyle \frac{15}{2} a = 9$ $\displaystyle a = \frac{6}{5}$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - 4 \right) \left( x - \frac{6}{5} \right)$이므로 $f \left( 9 \right)$$\displaystyle = \left( 9 - 4 \right) \left( 9 - \frac{6}{5} \right)$ $\displaystyle = 5 \times \frac{39}{5} = 39$