적분으로 정의된 함수의 극값

$\displaystyle g' ( x ) = 2 x \int _{0} ^{x} f ( t ) dt + x ^{2} f ( x ) - x ^{3} f ( x )$$\displaystyle = 2 x \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$ $g' ( x ) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 $x = 0$ 또는 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = 0$을 만족하는 $x$의 값이다.

위의 $f ( x )$의 그래프로에서 $x < 0$일 때 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = 0$의 해가 존재하므로 $g ( x )$는 $x < 0$일 때 값을 갖는다. $x = 0$일 때 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = 0$이므로 $x = 0$일 때 $g' ( x ) = 0$은 중근을 갖고 $g ( x )$는 극값을 갖지 않는다. 따라서 함수 $g ( x )$가 오직 하나의 극값을 가지려면 $x > 0$일 때 $g' ( x ) \geq 0$이어야 하고 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt \geq 0$이어야 한다. $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt \geq 0$는 $x > 0$일 때 $x = a$에서 최솟값을 갖는다. $\displaystyle \int _{0} ^{a} f ( t ) dt = \int _{0} ^{a} ( t + 1 ) ( t - 1 ) ( t - a ) dt$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} t ^{4} - \frac{a}{3} t ^{3} - \frac{1}{2} t ^{2} + at \right] _{0} ^{a}$$\displaystyle = - \frac{a ^{4}}{12} + \frac{a ^{2}}{2} \geq 0$ $a ^{2} ( a ^{2} - 6 ) \leq 0$ $a > 1$이므로 $\displaystyle 1 < a \leq \sqrt{6}$ 따라서 $a$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{6}$