적분으로 정의된 함수 극값

[출제의도] 적분과 미분의 관계를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = \int _{2} ^{x} {\left( t - 2 \right) f'} \left( t \right) dt$이므로 $g' \left( x \right) = \left( x - 2 \right) f' \left( x \right)$ 함수 $g ( x )$가 $x = 0$에서만 극값을 가지므로 상수 $a$에 대하여 $g' \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \times ax \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = ax \left( x - 2 \right)$이고 함수 $f \left( x \right)$의 최고차항이 $x ^{3}$이므로 $a = 3$ $f' \left( x \right) = 3 x ( x - 2 )$ 따라서 $g \left( 0 \right)$$\displaystyle = \int _{2} ^{0} {3 t \left( t - 2 \right) ^{2} dt}$$\displaystyle = \left[ \frac{3}{4} t ^{4} - 4 t ^{3} + 6 t ^{2} \right] _{2} ^{0} = - 4$