미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분으로 정의된 함수 극값

문제

함수 f(x)=∫ax(3t2+bt−5)dt(a>0)\displaystyle f \left( x \right) = \int _{a} ^{x} {} \left( 3 t ^{2} + bt - 5 \right) dt \left( a > 0 \right) 이 x=−1x = \mathit{-} 1에서 극값 0\mathrm{0}을 가질 때, a+ba + b의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [4점] ①1\mathrm{1}②43\displaystyle \frac{4}{3}③53\displaystyle \frac{5}{3}④2\mathrm{2}⑤73\displaystyle \frac{7}{3}

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①

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해설

f(x)=∫ax(3t2+bt−5)dt\displaystyle f ( x ) = \int _{a} ^{x} {} \left( 3 t ^{2} + bt - 5 \right) dt의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f′(x)=3x2+bx−5f' ( x ) = 3 x ^{2} + bx - 5 함수 f(x)f ( x )가 x=−1x = \mathit{-} 1에서 극값 00을 가지므로 f(−1)=0f ( - 1 ) = 0, f′(−1)=0f' ( - 1 ) = 0 f′(−1)=0f' ( - 1 ) = 0에서 3−b−5=03 - b - 5 = 0 ∴\thereforeb=−2b = \mathit{-} 2 이때 f(−1)f ( - 1 )=∫a−1(3t2−2t−5)dt\displaystyle = \int _{a} ^{- 1} \left( 3 t ^{2} - 2 t - 5 \right) dt =[t3−t2−5t]a−1\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - t ^{2} - 5 t \end{array} \right] _{a} ^{- 1} =−a3+a2+5a+3= \mathit{-} a ^{3} + a ^{2} + 5 a + 3 =0= 0 에서 a3−a2−5a−3=0a ^{3} - a ^{2} - 5 a - 3 = 0, (a+1)2(a−3)=0\left( a + 1 \right) ^{2} \left( a - 3 \right) = 0 ∴\thereforea=3a = 3 (∵\becausea>0a > 0) 따라서 a=3a = 3, b=−2b = \mathit{-} 2이므로 a+b=1a + b = 1

태그

#정적분으로 정의된 함수#극값

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