미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

적분으로 정의된 함수

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 ∫1xf(t)dt=x3+ax2+1\displaystyle \int _{1} ^{x} {f \left( t \right) dt} = x ^{3} + ax ^{2} + 1 을 만족시킬 때, f(−1)f \left( - 1 \right)의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①77②99③1111④1313⑤1515

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①

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해설

[출제의도] 적분과 미분의 관계 이해하기 주어진 등식의 양변에 x=1x = 1을 대입하면 0=1+a+10 = 1 + a + 1 ∴a=−2\therefore a = - 2 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)=3x2−4xf \left( x \right) = 3 x ^{2} - 4 x 따라서 f(−1)=7f \left( - 1 \right) = 7

태그

#정적분으로 정의된 함수#미분

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