적분으로 정의된 함수

$\displaystyle g \left( x \right) = \int _{0} ^{x} \left( f \left( t \right) - \left| f \left( t \right) \right| \right) dt$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' \left( x \right) = f \left( x \right) - \left| f \left( x \right) \right|$이므로 $\displaystyle g' \left( x \right) = \begin{cases} 2 f \left( x \right) & & \left( f \left( x \right) < 0 \right) \\ 0 & & \left( f \left( x \right) \geq 0 \right) \end{cases}$ 조건 (가)에서 $x \geq 2$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq 0$이고 충분히 작은 양수 $h$에 대하여 열린구간 $\left( 2 - h , 2 \right)$에서 $f \left( x \right) < 0$이다. 삼차함수 $f \left( x \right)$의 부호가 $x = 2$의 좌우에서 음에서 양으로 바뀌어야 하므로 $f \left( 2 \right) = 0$이다. $f \left( x \right)$는 최고차항이 $1$인 삼차함수이고 $f \left( 0 \right) = 0$, $f \left( 2 \right) = 0$이며 $x \geq 2$에서 $f \left( x \right) \geq 0$이므로 $f \left( x \right) = x \left( x - 2 \right) \left( x - a \right)$를 만족시키는 실수 $a \left( a < 2 \right)$가 존재한다. (ⅰ) $0 < a < 2$인 경우 $0 < x \leq a$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq 0$이고 $a < x < 2$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) < 0$이므로 $g \left( 2 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left( f \left( t \right) - \left| f \left( t \right) \right| \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{a} 0 dt + \int _{a} ^{2} 2 f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \int _{a} ^{2} 2 t \left( t - 2 \right) \left( t - a \right) dt$ $\displaystyle = \int _{a} ^{2} \left\{ 2 t ^{3} - \left( 2 a + 4 \right) t ^{2} + 4 at \right\} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{2} t ^{4} - \frac{2 a + 4}{3} t ^{3} + 2 at ^{2} \end{array} \right] _{a} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{6} a ^{4} - \frac{2}{3} a ^{3} + \frac{8}{3} a - \frac{8}{3}$ $\displaystyle h \left( x \right) = \frac{1}{6} x ^{4} - \frac{2}{3} x ^{3} + \frac{8}{3} x - \frac{8}{3}$이라 하면 $\displaystyle h' \left( x \right) = \frac{2}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) ^{2}$ $0 < x < 2$에서 $h' \left( x \right) > 0$이고 $\displaystyle h \left( 0 \right) = - \frac{8}{3}$이므로 $0 < a < 2$인 모든 $a$에 대하여 $\displaystyle h \left( a \right) > - \frac{8}{3}$이다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a \leq 0$인 경우 $0 < x < 2$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) < 0$이고 조건 (나)에서 $g \left( 2 \right) = - 8$이므로 $g \left( 2 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left( f \left( t \right) - \left| f \left( t \right) \right| \right) dt = \int _{0} ^{2} 2 f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} 2 t \left( t - 2 \right) \left( t - a \right) dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} \left\{ 2 t ^{3} - \left( 2 a + 4 \right) t ^{2} + 4 at \right\} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{2} t ^{4} - \frac{2 a + 4}{3} t ^{3} + 2 at ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{8}{3} a - \frac{8}{3} = - 8$ 에서 $a = - 2$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( x \right) = x \left( x - 2 \right) \left( x + 2 \right)$ 따라서 $f \left( 4 \right) = 4 \times 2 \times 6 = 48$