적분으로 정의된 함수

$\displaystyle g \left( x \right) = \int _{k} ^{x} f' \left( t \right) \ln f \left( t \right) dt$ $\cdots \cdots$㉠ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' \left( x \right) = f' \left( x \right) \ln f \left( x \right)$ $g' \left( x \right) = 0$이면 $f' \left( x \right) = 0$ 또는 $f \left( x \right) = 1$ $f \left( x \right)$가 이차함수이므로 일차방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 실근의 개수는 $1$이고 이차방정식 $f \left( x \right) = 1$의 실근의 개수는 최대 $2$이다. 함수 $g \left( x \right)$가 $x = a$에서 극대 또는 극소인 모든 $a$의 개수는 $3$이므로 $g' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실수 $x$의 개수는 $3$이다. 그러므로 이차방정식 $f \left( x \right) = 1$은 서로 다른 두 실근 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$를 갖는다. $f \left( x \right) - 1 = \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right)$, $f' \left( x \right) = 2 x - \alpha - \beta$ 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 실근은 $\displaystyle x = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $\displaystyle \alpha < \frac{\alpha + \beta}{2} < \beta$에서 $\alpha = a _{1}$, $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = a _{2}$, $\beta = a _{3}$ $\cdots \cdots$㉡ 즉, $f \left( x \right) = \left( x - a _{1} \right) \left( x - a _{3} \right) + 1$ $\cdots \cdots$㉢ 이차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 $x \rightarrow - \infty$일 때 $g' \left( x \right) \rightarrow - \infty$이고, $x \rightarrow \infty$일 때 $g' \left( x \right) \rightarrow \infty$이다. 즉, 함수 $g \left( x \right)$는 $x = a _{1}$, $x = a _{3}$에서 극소이고 $x = a _{2}$에서 극대이다. ㉠의 양변에 $x = k$를 대입하면 $g \left( k \right) = 0$이고 조건 (가)에서 함수 $g \left( x \right)$의 최솟값은 $0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = k$에서 극소이다. 그러므로 $k = a _{1}$ 또는 $k = a _{3}$ ㉢에서 $f \left( a _{1} \right) = f \left( a _{3} \right) = 1$이므로 $f \left( k \right) = 1$ $g \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{x} f' \left( t \right) \ln f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} f \left( t \right) \ln f \left( t \right) \end{array} \right] _{k} ^{x} - \int _{k} ^{x} \left( f \left( t \right) \times \frac{f' \left( t \right)}{f \left( t \right)} \right) dt$ $= f \left( x \right) \ln f \left( x \right) - f \left( k \right) \ln f \left( k \right) - f \left( x \right) + f \left( k \right)$ $= f \left( x \right) \ln f \left( x \right) - f \left( x \right) + 1$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{a _{1}} ^{a _{3}} \left( g \left( x \right) + f \left( x \right) - f \left( x \right) \ln f \left( x \right) \right) dx = \int _{a _{1}} ^{a _{3}} 1 dx = a _{3} - a _{1} = \frac{3}{2}$ ㉡에서 $a _{1} + a _{3} = 2 a _{2}$이므로 $\displaystyle a _{2} - a _{1} = \frac{3}{4}$, $\displaystyle a _{2} - a _{3} = - \frac{3}{4}$ 따라서 $\displaystyle f \left( a _{2} \right) = \left( a _{2} - a _{1} \right) \left( a _{2} - a _{3} \right) + 1 = \frac{3}{4} \times \left( - \frac{3}{4} \right) + 1 = \frac{7}{16}$