미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분방정식

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 ∫1xf(t)dt=xf(x)−3x4+2x2\displaystyle \int _{1} ^{x} {f ( t ) dt = xf ( x ) - {3 x ^{4}} + 2 {x ^{2}}} 을 만족시킬 때, f(0)f ( 0 )의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수 이해하기 주어진 식의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf′(x)−12x3+4xf ( x ) = f ( x ) + xf' ( x ) - 12 x ^{3} + 4 x xf′(x)=12x3−4xxf' ( x ) = 12 x ^{3} - 4 x f′(x)=12x2−4f' ( x ) = 12 x ^{2} - 4 f(x)=4x3−4x+Cf ( x ) = 4 x ^{3} - 4 x + C (CC는 적분상수) x=1x = 1일 때, ∫11f(t)dt=1⋅f(1)−3+2=0\displaystyle \int _{1} ^{1} {f ( t ) dt = 1 \cdot f ( 1 ) - 3 + 2 = 0} f(1)=1f ( 1 ) = 1이므로 C=1C = 1 따라서 f(0)=1f ( 0 ) = 1

태그

#정적분으로 정의된 함수#미분

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