적분 포함 함수 극값

[출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 함숫값 구하는 문제를 해결한다. $g ( x )$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {f ( t )} dt + f ( x )$에서 $g' ( x )$$= f ( x ) + f' ( x )$, $g ( 0 )$$\displaystyle = \int _{0} ^{0} f ( t ) dt + f ( 0 )$$= 0 + f ( 0 )$, $g' ( 0 )$$= f ( 0 ) + f' ( 0 )$ 조건 (가)에 의해 $g ( 0 )$$= f ( 0 )$$= 0$ $g' ( 0 )$$= f ( 0 ) + f' ( 0 )$$= 0 + f' ( 0 )$$= 0$이므로 $f' ( 0 ) = 0$ 그러므로 $x ^{2}$은 $f ( x )$의 인수이다. $f ( x ) = x ^{2} ( x - k )$(단, $k$는 상수)라 하면 $g' ( x )$$= x ^{3} - kx ^{2} + 3 x ^{2} - 2 kx$$= x ^{3} + \left( 3 - k \right) x ^{2} - 2 kx$ 조건 (나)에 의해 모든 실수 $x$에 대하여 $g' ( - x ) = \mathit{-} g' ( x )$가 성립한다. 즉, $- x ^{3} + \left( 3 - k \right) x ^{2} + 2 kx$$= \mathit{-} x ^{3} - \left( 3 - k \right) x ^{2} + 2 kx$, $2 \left( 3 - k \right) x ^{2} = 0$에서 $k = 3$ 그러므로 $f ( x )$$= x ^{2} \left( x - 3 \right)$ 따라서 $f ( 2 )$$= \mathit{-} 4$ [다른 풀이] $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$라고 놓으면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ 조건 (가)에 의해 $f ( 0 ) = 0$이므로 $c = 0$, $f' ( 0 ) = 0$이므로 $b = 0$ 즉, $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2}$ $g' ( x )$$= f ( x ) + f' ( x )$ $= x ^{3} + ax ^{2} + 3 x ^{2} + 2 ax$ $= x ^{3} + \left( a + 3 \right) x ^{2} + 2 ax$ 조건 (나)에 의해 함수 $y$$= g' ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 $x ^{2}$의 계수는 $0$이다. 즉, $a = \mathit{-} 3$ 따라서 $f ( x ) = x ^{3} - 3 x ^{2}$에서 $f ( 2 )$$= 8 - 12$$= \mathit{-} 4$