적분 포함 극한

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 $G \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{1} ^{x} {} \left( x - t \right) f \left( t \right) dt$라 하자. 함수 $G \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{1}{x - 2} \int _{1} ^{x} {} \left( x - t \right) f \left( t \right) dt$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{G \left( x \right)}{x - 2}$$= 3$에서 $G \left( 2 \right)$$= 0$, $G' \left( 2 \right)$$= 3$ $G \left( x \right)$$\displaystyle = x \int _{1} ^{x} {} f \left( t \right) dt - \int _{1} ^{x} {} t f \left( t \right) dt$에서 $G' \left( x \right)$$\displaystyle = x \int _{1} ^{x} {} f \left( t \right) dt + x f \left( x \right) - x f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{1} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $G' \left( 2 \right)$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {} f \left( t \right) dt$$= 3$ $G \left( 2 \right)$$\displaystyle = 2 \int _{1} ^{2} {} f \left( t \right) dt - \int _{1} ^{2} {} t f \left( t \right) dt$$= 0$에서 $\displaystyle \int _{1} ^{2} {} t f \left( t \right) dt$$\displaystyle = 2 \int _{1} ^{2} {} f \left( t \right) dt$$= 6$ 따라서 $\displaystyle \int _{1} ^{2} {} \left( 4 x + 1 \right) f \left( x \right) dx$$\displaystyle = 4 \int _{1} ^{2} {} x f \left( x \right) dx + \int _{1} ^{2} {} f \left( x dx \right)$ $= 4 \times 6 + 3$$= 27$