적분 조건 접선

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-적분법 조건 (가)의 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f' ( 4 + h ) - 1}{h} = 1$에서 $h \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow$0이므로 (분자)$\rightarrow$0이어야 한다. 도함수 $f' ( x )$는 연속함수이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \left\{ f' ( 4 + h ) - 1 \right\} = f' ( 4 ) - 1 = 0$ 따라서 $f' ( 4 ) = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f' ( 4 + h ) - 1}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \frac{f' ( 4 + h ) - f' ( 4 )}{h} = f'' ( 4 )$ 이므로 $f'' ( 4 ) = 1$이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{4} ^{x} {} f ( t ) dt = \frac{1}{x} \int _{4} ^{x} {} g ( \sqrt{t} ) dt - \int _{4} ^{x} {} \frac{g ( \sqrt{t} )}{t} dt$ 이므로 이 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{x ^{2}} \int _{4} ^{x} {} g ( \sqrt{t} ) dt + \frac{g ( \sqrt{x} )}{x} - \frac{g ( \sqrt{x} )}{x}$ $\displaystyle = - \frac{1}{x ^{2}} \int _{4} ^{x} {} g ( \sqrt{t} ) dt$ $\displaystyle \int _{4} ^{x} {} g ( \sqrt{t} ) dt = - x ^{2} f ( x ) \cdots \text{㉠}$ ㉠의 양변에 $x = 4$를 대입하면 $0 = - 4 ^{2} \times f ( 4 )$이므로 $f ( 4 ) = 0$ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle g ( \sqrt{x} ) = - 2 f ( x ) - x ^{2} f' ( x ) \cdots \text{㉡}$ ㉡의 양변에 $x = 4$를 대입하면 $g ( 2 ) = - 8 f ( 4 ) - 16 f' ( 4 )$$= - 16 ( \because f ( 4 ) = 0 , f' ( 4 ) = 1 )$ ㉡의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{g' ( \sqrt{x} )}{2 \sqrt{x}} = - 2 f ( x ) - 2 xf' ( x ) - 2 xf' ( x ) - x ^{2} f'' ( x )$ $\displaystyle g' ( \sqrt{x} ) = - 2 \sqrt{x} \left\{ 2 f ( x ) + 4 x f' ( x ) + x ^{2} f'' ( x ) \right\} \cdots \text{㉢}$ ㉢의 양변에 $x = 4$를 대입하면 $g' ( 2 ) = - 4 \left\{ 2 f ( 4 ) + 16 f' ( 4 ) + 16 f'' ( 4 ) \right\}$ $= - 128 ( \because f'' ( 4 ) = 1 )$ 따라서 곡선 $y = g ( x )$위의 점 $( 2 , g ( 2 ) )$에서의 접선의 방정식은 $y - g ( 2 ) = g' ( 2 ) ( x - 2 )$ $y = - 128 x + 240$ 따라서 구하는 접선의 $y$절편은 240이다.