미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

적분 조건 함수값

문제

구간 [0,π2]\displaystyle \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right]에서 연속인 함수 f(x)f \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(π4)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right)의 값은? [4점]

(가) ∫0π2f(t)dt=1\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {f \left( t \right) dt} = 1 (나) cos⁡x∫0xf(t)dt=sin⁡x∫xπ2f(t)dt(단,0≤x≤π2)\displaystyle \cos x \int _{0} ^{x} {f \left( t \right) dt} = \sin x \int _{x} ^{\frac{\pi}{2}} {f \left( t \right) dt} \left( \text{단} , 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \right)

①15\displaystyle \frac{1}{5}②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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④

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해설

[출제의도]정적분과 미분의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? 조건(나)에서 cos⁡x∫0xf(t)dt=−sin⁡x∫π2xf(t)dt\displaystyle \cos x \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = - \sin x \int _{\frac{\pi}{2}} ^{x} f ( t ) dt 양변을 xx에 대하여 미분하면 −sin⁡x∫0xf(t)dt+cos⁡x⋅f(x)\displaystyle - \sin x \int _{0} ^{x} f ( t ) dt + \cos x \cdot f ( x ) =−cos⁡x∫π2xf(t)dt−sin⁡x⋅f(x)\displaystyle = - \cos x \int _{\frac{\pi}{2}} ^{x} f ( t ) dt - \sin x \cdot f ( x ) 등식의 양변에 x=π4\displaystyle x = \frac{\pi}{4}를 대입하면 −22∫0π4f(t)dt+22f(π4)\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2} \int _{0} ^{\frac{\pi}{4}} f ( t ) dt + \frac{\sqrt{2}}{2} f \left( \frac{\pi}{4} \right) =−22∫π2π4f(t)dt−22f(π4)\displaystyle = - \frac{\sqrt{2}}{2} \int _{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{4}} f ( t ) dt - \frac{\sqrt{2}}{2} f \left( \frac{\pi}{4} \right) 2f(π4)=22∫0π4f(t)dt+22∫π4π2f(t)dt\displaystyle \sqrt{2} f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \int _{0} ^{\frac{\pi}{4}} f ( t ) dt + \frac{\sqrt{2}}{2} \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} f ( t ) dt =22∫0π2f(t)dt\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} f ( t ) dt =22×1\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 (∵ 조건(가) ) ∴ f(π4)=22×12=12\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}

태그

#정적분으로 정의된 함수#미분

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