적분 조건 다항함수

$\displaystyle x ^{2} \int _{1} ^{x} f ( t ) dt - \int _{1} ^{x} t ^{2} f ( t ) dt = x ^{4} + ax ^{3} + bx ^{2}$ ⋯⋯ ㉠ ㉠이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 ㉠에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 1 + a + b$ ⋯⋯ ㉡ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \left\{ 2 x \int _{1} ^{x} f ( t ) dt + x ^{2} f ( x ) \right\} - x ^{2} f ( x ) = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx$ $\displaystyle 2 x \int _{1} ^{x} f ( t ) dt = 4 x ^{3} + 3 ax ^{2} + 2 bx$ 위의 식이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle 2 \int _{1} ^{x} f ( t ) dt = 4 x ^{2} + 3 ax + 2 b$ ⋯⋯ ㉢ ㉢이 모든 실수에 대하여 성립하므로 ㉢에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 4 + 3 a + 2 b$ ⋯⋯ ㉣ ㉡, ㉣에서 $a = - 2$, $b = 1$ ㉢의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $2 f ( x ) = 8 x + 3 a$$= 8 x - 6$ ∴ $f ( x ) = 4 x - 3$ ∴ $f ( 5 ) = 17$