적분 조건 다항함수

조건 (가)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{x} t ^{2} f' ( t ) dt = \frac{3}{2} x ^{4} + kx ^{3}$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle \int _{0} ^{x} t ^{2} f' ( t ) dt = \frac{3}{2} x ^{4} + kx ^{3}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $x ^{2} f' ( x ) = 6 x ^{3} + 3 k x ^{2}$ 위의 식은 모든 실수 $x$에 대하여 성립해야하므로 $f' ( x ) = 6 x + 3 k$ 조건 (나)에 의하여 함수 $f ( x )$가 $x = 1$에서 극솟값을 갖고 함수 $f ( x )$가 다항함수이므로 $f' ( 1 )$$= 6 + 3 k = 0$ ∴ $k = - 2$ ∴ $f' ( x ) = 6 x - 6$ ∴ $f ( x )$$\displaystyle = \int ( 6 x - 6 ) dx$$= 3 x ^{2} - 6 x + C$ 조건 (나)에서 $f ( 1 ) = 3 - 6 + C = 7$ ∴ $C = 10$ ∴ $f ( x )$$= 3 x ^{2} - 6 x + 10$ ∴ $f ( 10 )$$= 3 \cdot 10 ^{2} - 6 \cdot 10 + 10$$= 250$