적분 항등식

$\displaystyle \left( x + 3 \right) f \left( x \right) = \int _{- 3} ^{x} \left( 4 f \left( t \right) - 2 t ^{2} \right) dt$ 의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f \left( x \right) + \left( x + 3 \right) f' \left( x \right) = 4 f \left( x \right) - 2 x ^{2}$ $\cdots \cdots$㉠ $\left( x + 3 \right) f' \left( x \right) = 3 f \left( x \right) - 2 x ^{2}$ 세 실수 $a \left( a \neq 0 \right)$, $b$, $c$에 대하여 $f \left( x \right) = ax ^{2} + bx + c$라 하면 $\left( x + 3 \right) f' \left( x \right)$$= \left( x + 3 \right) \left( 2 ax + b \right)$ $= 2 ax ^{2} + \left( 6 a + b \right) x + 3 b$ $3 f \left( x \right) - 2 x ^{2} = \left( 3 a - 2 \right) x ^{2} + 3 bx + 3 c$ ㉠에서 항등식의 성질에 의해 $a = 2$, $b = 6$, $c = 6$ 따라서 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} + 6 x + 6$이므로 $f \left( 2 \right) = 26$