적분 함수 극값

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 이용하여 정적분의 값을 구한다. $g' ( x )$$\left. = f ( x ) - \left\{ f ( x ) + xf' ( x ) \right\} \right.$$= \mathit{-} xf' ( x )$ 삼차함수 $f ( x )$의 최고차항의 계수가 $4$이므로 $f' ( x )$는 이차항의 계수가 $12$인 이차함수이다. 그러므로 $g' \left( x \right) = \mathit{-} xf' \left( x \right)$에서 $g' \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $- 12$인 삼차함수이다. 또, 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \leq g ( 3 )$이므로 함수 $g ( x )$는 $x = 3$에서 최댓값을 가지고 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 3$에서 극값을 가진다. 즉, $g' ( 3 ) = 0$ 그러므로 $f' \left( 3 \right) = 0$에서 $g' \left( x \right)$$= \mathit{-} 12 x \left( x - 3 \right) \left( x - a \right)$ 사차함수 $g ( x )$가 오직 $1$개의 극값만 가지므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 극값을 가질 수 없다. 즉, $a = 0$ $g' ( x )$$= \mathit{-} 12 x ^{2} ( x - 3 )$$= \mathit{-} 12 x ^{3} + 36 x ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {g' ( x ) dx}$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - 3 x ^{4} + 12 x ^{3} \end{array} \right] _{0} ^{1}$$= 9$