미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분 등식 함수 결정

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 xf(x)=x2e−x+∫1xf(t)dt\displaystyle xf ( x ) = x ^{2} e ^{- x} + \int _{1} ^{x} {f ( t )} dt 를 만족시킬 때, f(2)f ( 2 )의 값은? [3점] ①1e\displaystyle \frac{1}{e}②e+1e2\displaystyle \frac{e + 1}{e ^{2}}③e+2e2\displaystyle \frac{e + 2}{e ^{2}}④e+3e2\displaystyle \frac{e + 3}{e ^{2}}⑤e+4e2\displaystyle \frac{e + 4}{e ^{2}}

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②

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해설

xf(x)=x2e−x+∫1xf(t)dt\displaystyle x f ( x ) = x ^{2} e ^{-x} + \int _{1} ^{x} f ( t ) dt 에 x=1x = 1을 대입하면 f(1)=e−1f ( 1 ) = e ^{-1} xx에 대하여 미분하면 f(x)+xf′(x)=2xe−x−x2e−x+f(x)f ( x ) + x f' ( x ) = 2 x e ^{-x} - x ^{2} e ^{-x} + f ( x ) f′(x)=2e−x−xe−xf' ( x ) = 2 e ^{-x} - x e ^{-x} f(x)=∫(2e−x−xe−x)dx\displaystyle f ( x ) = \int ( 2 e ^{-x} - x e ^{-x} ) dx=−2e−x+xe−x−∫e−xdx\displaystyle = - 2 e ^{-x} + x e ^{-x} - \int e ^{-x} dx =−2e−x+xe−x+e−x+C= - 2 e ^{-x} + x e ^{-x} + e ^{-x} + C=(x−1)e−1+C= ( x - 1 ) e ^{-1} + C f(1)=e−1f ( 1 ) = e ^{-1}이므로 C=C =e−1e ^{-1}, f(x)=(x−1)e−x+e−1f ( x ) = ( x - 1 ) e ^{-x} + e ^{-1} ∴\therefore f(2)=e−2+e−1=e+1e2\displaystyle f ( 2 ) = e ^{-2} + e ^{-1} = \frac{e + 1}{e ^{2}}

태그

#정적분으로 정의된 함수#부분적분

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