적분 등식 함수

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다. $\displaystyle x \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt - \int _{0} ^{x} {tf ( t ) dt}$$= ae ^{2 x} - 4 x + b$ …… ㉠ ㉠의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $0 = a + b$ …… ㉡ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt + xf ( x ) - xf ( x )$$= 2 ae ^{2 x} - 4$ 즉 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt} = 2 ae ^{2 x} - 4$ …… ㉢ ㉢의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $0 = 2 a - 4$, 즉 $a = \mathit{2}$ 이므로 ㉡에서 $b = \mathit{-} 2$이다. $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt} = 4 e ^{2 x} - 4$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f ( x ) = \mathit{8} e ^{2 x}$이므로 $f \left( a \right) f \left( b \right)$$= f \left( 2 \right) f \left( - 2 \right)$ $= \left( 8 e ^{4} \right) \times \left( 8 e ^{- 4} \right)$ $= 64 e ^{4 - 4}$ $= 64$