적분 부등식과 증가함수

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$와 상수 $k$ $\left( k \geq 0 \right)$에 대하여 $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} 2 x - k & & \left( x \leq k \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x > k \right) \end{cases}$ 일 때 조건 (가)에서 함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하므로 $x = k$에서 연속이고 미분가능하다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {} \left( 2 x - k \right) = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {} f \left( x \right) = k$에서 $f \left( k \right) = k$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{2 \left( k + h \right) - k - k}{h}} = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( k + h \right) - f \left( k \right)}{h}} = 2$에서 $f' \left( k \right) = 2$ 즉 $f \left( x \right) = \left( x - k \right) ^{3} + a \left( x - k \right) ^{2} + 2 \left( x - k \right) + k$ ($a$, $b$는 상수)라 할 수 있다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $h \left( t \right) = \left| t \left( t - 1 \right) \right| + t \left( t - 1 \right)$라 하면 $\displaystyle h \left( t \right) = \begin{cases} 2 t \left( t - 1 \right) & & \left( t < 0 \text{또는} t > 1 \right) \\ 0 & & \left( 0 \leq t \leq 1 \right) \end{cases}$ 조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {} g \left( t \right) h \left( t \right) dt \geq 0$을 만족시키려면 $t < 0$ 또는 $t > 1$에서 $h \left( t \right) > 0$이므로 $t < 0$에서 $g \left( t \right) < 0$, $t > 1$에서 $g \left( t \right) \geq 0$이 성립해야 한다. 즉 $2 t - k = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{k}{2}$이므로 $\displaystyle 0 \leq \frac{k}{2} \leq 1$, $0 \leq k \leq 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡

$s \left( t \right) = \left| \left( t - 1 \right) \left( t + 2 \right) \right| - \left( t - 1 \right) \left( t + 2 \right)$라 하면 $\displaystyle s \left( t \right) = \begin{cases} 0 & & \left( t < - 2 \text{또는} t > 1 \right) \\ - 2 \left( t + 2 \right) \left( t - 1 \right) & & \left( - 2 \leq t \leq 1 \right) \end{cases}$ 조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{3} ^{x} {} g \left( t \right) s \left( t \right) dt \geq 0$을 만족시키려면 $- 2 \leq t \leq 1$에서 $s \left( t \right) \geq 0$이므로 $- 2 \leq t \leq 1$에서 $g \left( t \right) \leq 0$이 성립해야 한다. 즉 $2 t - k = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{k}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{k}{2} \geq 1$, $k \geq 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉢

즉 ㉡, ㉢을 모두 만족시키는 실수 $k$의 값이 $2$이므로 ㉠에서 $f \left( x \right)$$= \left( x - 2 \right) ^{3} + a \left( x - 2 \right) ^{2} + 2 \left( x - 2 \right) + 2$, $f' \left( x \right)$$= 3 \left( x - 2 \right) ^{2} + 2 a \left( x - 2 \right) + 2$ $= 3 x ^{2} + 2 \left( a - 6 \right) x - 4 a + 14$ $\displaystyle = 3 \left( x - \frac{6 - a}{3} \right) ^{2} + 14 - 4 a - \frac{{\left( 6 - a \right)} ^{2}}{3}$ 이때 $x \geq 2$일 때 $f' \left( x \right) \geq 0$을 만족시켜야 하므로 (ⅰ) $\displaystyle \frac{6 - a}{3} < 2$, 즉 $a > 0$일 때 함수 $f' \left( x \right)$는 $x = 2$에서 최솟값 $2$를 가지고 $2 > 0$이므로 주어진 조건을 만족시킨다. (ⅱ) $\displaystyle \frac{6 - a}{3} \geq 2$, 즉 $a \leq 0$일 때 함수 $f' \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \frac{6 - a}{3}$에서 최솟값 $\displaystyle 14 - 4 a - \frac{{\left( 6 - a \right)} ^{2}}{3}$을 가지므로 $\displaystyle 14 - 4 a - \frac{\left( 6 - a \right) ^{2}}{3} \geq 0$, $6 - a ^{2} \geq 0$ 즉 $\displaystyle \left( a + \sqrt{6} \right) \left( a - \sqrt{6} \right) \leq 0$에서 $\displaystyle - \sqrt{6} \leq a \leq 0$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle a \geq - \sqrt{6}$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ $\displaystyle g \left( x \right) = \begin{cases} 2 x - 2 & & \left( x \leq 2 \right) \\ \left( x - 2 \right) ^{3} + a \left( x - 2 \right) ^{2} + 2 x - 2 & & \left( x > 2 \right) \end{cases}$ 즉 $g \left( 3 \right) = a + 5$이므로 ㉣에 의하여 $\displaystyle g \left( 3 \right) \geq 5 - \sqrt{6}$ 따라서 $g \left( 3 \right)$의 최솟값은 $\displaystyle 5 - \sqrt{6}$이다. [참고] $g \left( 3 \right)$의 값이 최소일 때, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.