적분 방정식과 넓이

등식 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {} \left( x - t \right) f \left( t \right) dt = e ^{2 x} - 2 x + a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $0 = 1 + a$ $\therefore$ $a = - 1$ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt = 2 e ^{2x} - 2$ 위 식을 다시 $x$에 대하여 미분하면 $f \left( x \right) = 4 e ^{2x}$ $f \left( a \right) = f \left( - 1 \right) = 4 e ^{-2}$이고, 함수 $f \left( x \right)$를 $x$에 대하여 미분하면 $f' \left( x \right) = 8 e ^{2x}$ $f' \left( - 1 \right) = 8 e ^{-2}$이므로 점 $\left( - 1 , 4 e ^{-2} \right)$을 지나는 접선의 방정식은 $l :$$y$$= 8 e ^{-2} \left( x + 1 \right) + 4 e ^{-2}$$= 8 e ^{-2} x + 12 e ^{-2}$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( 0 , 4 \right)$를 지나므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $l$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하면 아래 그림에서처럼

$\therefore$ $S$$\displaystyle = \int _{- 1} ^{0} {} \left( 4 e ^{2x} - 8 e ^{-2} x - 12 e ^{-2} \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 2 e ^{2x} - 4 e ^{-2} x ^{2} - 12 e ^{-2} x \end{array} \right] _{-1} ^{0}$ $= 2 - \left( 2 e ^{-2} - 4 e ^{-2} + 12 e ^{-2} \right)$ $\displaystyle = 2 - \frac{10}{e ^{2}}$