적분 방정식 최대최소

$\displaystyle \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} = 2 \int _{3} ^{x} {} \left( t ^{2} + 2 t \right) f \left( t \right) dt$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠에 $x = 3$을 대입하면 $f \left( 3 \right) = 0$ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $2 f \left( x \right) f' \left( x \right) = 2 \left( x ^{2} + 2 x \right) f \left( x \right)$ $2 f \left( x \right) \left\{ f' \left( x \right) - x ^{2} - 2 x \right\} = 0$ $f \left( x \right) = 0$ 또는 $f' \left( x \right) = x ^{2} + 2 x$ 함수 $f \left( x \right)$에 대하여 집합 $A = \left\{ x \left| \right. f \left( x \right) \ne 0 \right\}$이라 하자. $A = \emptyset$이면 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $A \ne \emptyset$이라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g \left( x \right)$를 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} + a \left( a \right.$는 실수$\left. \right)$ 라 하자. 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 연속이므로 $x \in A$인 모든 $x$에 대하여 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$이다. (ⅰ) $g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지는 경우 함수 $g \left( x \right)$의 극댓값은 $g \left( - 2 \right)$이고 $\displaystyle g \left( - 2 \right) = \frac{4}{3} + a > 0$ 이므로 $g \left( 3 \right) = 18 + a \ne 0$이다. 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 연속이므로 $\displaystyle f \left( 3 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} g \left( x \right) = g \left( 3 \right) = 0$ 그러므로 $g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지는 함수 $f \left( x \right)$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 함수 $g \left( x \right)$의 극댓값 또는 극솟값이 $\mathrm{0}$이다. $g \left( - 2 \right) = 0$일 때, $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} - \frac{4}{3}$ $g \left( 0 \right) = 0$일 때, $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2}$ $f \left( 3 \right) = 0$이고 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} - \frac{4}{3} & & \left( x < - 2 \right) \\ 0 & & \left( x \geq - 2 \right) \end{cases}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} & & \left( x < 0 \right) \\ 0 & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ (ⅲ) $g \left( x \right) = 0$이 오직 하나의 실근을 가지는 경우 하나의 실근을 $\alpha$라 하면 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 연속이므로 $\displaystyle f \left( \alpha \right) = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {} g \left( x \right) = g \left( \alpha \right) = 0$ 이고 $f \left( 3 \right) = 0$이므로 $\alpha = 3$이다. $g \left( 3 \right) = 18 + a = 0$, $a = - 18$ 이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} - 18$ $\cdots$$\cdots$ ㉤ 조건을 만족시키는 $f \left( x \right)$는 ㉡과 (ⅰ)$\sim$(ⅲ)에서 ㉢, ㉣, ㉤이므로 정적분 $\displaystyle \int _{- 3} ^{0} {} f \left( x \right) dx$의 값이 최대가 되는 $f \left( x \right)$는 ㉣, 최소가 되는 $f \left( x \right)$는 ㉤이다. $M - m$$\displaystyle = \int _{- 3} ^{0} {} \left( \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} \right) dx - \int _{- 3} ^{0} {} \left( \frac{1}{3} x ^{3} + x ^{2} - 18 \right) dx$$\displaystyle = \int _{- 3} ^{0} {} 18 dx = 54$