적분 방정식

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 활용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle 2 x ^{2} f ( x ) = 3 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) \left\{ f \left( x \right) + f \left( t \right) \right\}} dt$에서 $2 x ^{2} f ( x )$$\displaystyle = 3 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) f \left( x \right)} dt + 3 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) f ( t )} dt$ $\displaystyle = 3 f \left( x \right) \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right)} dt + 3 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) f ( t )} dt$ $\displaystyle = 3 f \left( x \right) \left[ xt - \frac{1}{2} t ^{2} \right] _{0} ^{x} + 3 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) f ( t )} dt$$\displaystyle = \frac{3}{2} x ^{2} f \left( x \right) + 3 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) f ( t )} dt$ $\displaystyle x ^{2} f ( x ) = 6 \int _{0} ^{x} {\left( x - t \right) f ( t )} dt$ $\displaystyle x ^{2} f ( x ) = 6 x \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt} - 6 \int _{0} ^{x} {tf ( t ) dt}$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 xf \left( x \right) + x ^{2} f' ( x ) = 6 \int _{0} ^{x} {f \left( t \right)} dt$ $\cdots \cdots$ ㉡ $f' ( 2 ) = 4$이므로 다항함수 $f \left( x \right)$의 차수는 $1$ 이상이다. 함수 $f ( x )$의 차수를 $n$이라 하고, 최고차항의 계수를 $a$($a \ne 0$)이라 하자. ㉡의 양변의 최고차항의 계수를 비교하면 $\displaystyle a \left( 2 + n \right) = \frac{6 a}{n + 1}$ $\left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) = 6$, $\left( n - 1 \right) \left( n + 4 \right) = 0$ $n$은 자연수이므로 $n = 1$ 함수 $f \left( x \right)$가 일차함수이고 $f' ( 2 ) = 4$이므로 $a = 4$ $f ( x ) = 4 x + b$(단, $b$는 상수)라 하면 ㉡에서 $\displaystyle 2 x \left( 4 x + b \right) + 4 x ^{2} = 6 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 2 t ^{2} + bt \end{array} \right] _{0} ^{x}$ $12 x ^{2} + 2 bx = 12 x ^{2} + 6 bx$ $\cdots \cdots$ ㉢ 모든 실수 $x$에 대하여 ㉢이 성립하므로 $b = 0$ $f ( x ) = 4 x$이므로 $f ( 6 ) = 24$