제곱의 합 명제가 참인 소수의 합

실마리: 대우 ‘$m$, $n$ 중 적어도 하나가 $p$의 배수가 아니면 $m ^{2} + n ^{2}$은 $p$의 배수가 아니다.’가 참인지, 제곱수를 $p$로 나눈 나머지를 이용해 살핀다. $13$ 이하의 소수는 $2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13$이다. (ⅰ) 하나만 $p$의 배수가 아닌 경우: $m$이 $p$의 배수이고 $n$이 $p$의 배수가 아니면 $m ^{2}$은 $p$의 배수, $n ^{2}$은 $p$의 배수가 아니므로 $m ^{2} + n ^{2}$은 $p$의 배수가 아니다. 이 경우는 모든 소수에서 성립한다. (ⅱ) 둘 다 $p$의 배수가 아닌 경우: $m ^{2}$, $n ^{2}$을 $p$로 나눈 나머지가 모두 $0$이 아니고, 이 두 나머지의 합이 $p$가 되는 일이 없어야 한다. $p = 2$: $m = n = 1$이면 $m ^{2} + n ^{2} = 2$가 $2$의 배수이지만 $m$, $n$은 $2$의 배수가 아니다. 거짓 $p = 3$: 제곱수를 $3$으로 나눈 나머지는 $0$ 또는 $1$이므로 둘 다 $3$의 배수가 아니면 $m ^{2} + n ^{2}$의 나머지는 $1 + 1 = 2$이다. 참 $p = 5$: $m = 1$, $n = 2$이면 $m ^{2} + n ^{2} = 5$가 $5$의 배수이다. 거짓 $p = 7$: $7$의 배수가 아닌 수의 제곱을 $7$로 나눈 나머지는 $1 , 4 , 2$뿐이고, 이 중 두 개(같은 것 포함)를 더해 $7$이 되는 경우는 없다. 참 $p = 11$: 나머지는 $1 , 4 , 9 , 5 , 3$뿐이고, 두 개를 더해 $11$이 되는 경우는 없다. 참 $p = 13$: $m = 2$, $n = 3$이면 $m ^{2} + n ^{2} = 13$이 $13$의 배수이다. 거짓 (검산) $p = 7$에서 $1 + 1 = 2 , 1 + 4 = 5 , 1 + 2 = 3 , 4 + 4 = 8 , 4 + 2 = 6 , 2 + 2 = 4$로 어느 것도 $7$이 아니고, $p = 11$에서 $1 + 9 = 10 , 4 + 5 = 9 , 5 + 9 = 14 , 3 + 9 = 12$ 등 어느 조합도 $11$이 아니다. 따라서 명제가 참이 되는 소수는 $3 , 7 , 11$이고 그 합은 $21$