공통수학1여러 가지 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

제곱의 합 조건에서 역수의 합 구하기

문제

실수 xx, yy가 {x+y=4x2+y2=10\displaystyle \begin{cases} x + y = 4 \\ x ^{2} + y ^{2} = 10 \end{cases} 을 만족시킬 때, 1x+1y\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

x2+y2=(x+y)2−2xyx ^{2} + y ^{2} = \left( x + y \right) ^{2} - 2 xy이므로 10=42−2xy10 = 4 ^{2} - 2 xy, xy=3xy = 3 이때 xx, yy는 t2−4t+3=0t ^{2} - 4 t + 3 = 0의 두 근 11, 33이므로 실수이다. 따라서 1x+1y=x+yxy=43\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{4}{3}

태그

#대칭식#연립방정식#역수의 합

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