제곱수 조건 점화식

$a _{1} = - \alpha$, $a _{2} = \alpha$라 하면 $a _{3} = \alpha + 1$, $a _{4} = \alpha + 2$ (ⅰ) $a _{4} \leq 0$, $a _{9} \leq 0$인 경우 $a _{4} = \alpha + 2$ $\left( \alpha \leq - 2 \right)$이므로 $\alpha _{9} = \alpha + 7$ $\left( \alpha \leq - 7 \right)$ $a _{15} = \alpha + 13$ $a _{15} = 1$이므로 $\alpha + 13 = 1$ $\alpha = - 12$이므로 $a _{1} = 12$ (ⅱ) $a _{4} \leq 0$, $a _{9} > 0$인 경우 $a _{4} = \alpha + 2$ $\left( \alpha \leq - 2 \right)$이므로 $a _{9} = \alpha + 7$ $a _{9} > 0$이므로 $\alpha > - 7$ $a _{10} = a _{9} - 3 a _{3}$$= \alpha + 7 - 3 \left( \alpha + 1 \right)$$= - 2 \alpha + 4$ $\therefore$ $a _{15} = - 2 \alpha + 9$ $a _{15} = 1$이므로 $- 2 \alpha + 9 = 1$ $\therefore$ $\alpha = 4$ 그런데 $\alpha \leq - 2$이므로 모순이다. (ⅲ) $a _{4} > 0$, $a _{9} \leq 0$인 경우 $a _{4} = \alpha + 2$이므로 $\alpha > - 2$ $a _{5} = a _{4} - 2 a _{2} = \alpha + 2 - 2 \alpha = - \alpha + 2$ $a _{9} = - \alpha + 6$이므로 $\alpha \geq 6$ $\therefore$ $a _{15} = - \alpha + 12$ $a _{15} = 1$이므로 $- \alpha + 12 = 1$ $\therefore$ $\alpha = 11$ $\therefore$ $a _{1} = - 11$ (ⅳ) $a _{4} > 0$, $a _{9} > 0$인 경우 $a _{4} = \alpha + 2$에서 $\alpha > - 2$ $a _{5} = a _{4} - 2 a _{2} = \alpha + 2 - 2 \alpha = - \alpha + 2$ $a _{9} = - \alpha + 6$이므로 $\alpha < 6$ $a _{10} = a _{9} - 3 a _{3} = - \alpha + 6 - 3 \left( \alpha + 1 \right) = - 4 \alpha + 3$ $\therefore$ $a _{15} = - 4 \alpha + 8$ $a _{15} = 1$이므로 $- 4 \alpha + 8 = 1$ $\therefore$ $\displaystyle \alpha = \frac{7}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle a _{1} = - \frac{7}{4}$ 이상에서 만족시키는 $a _{1}$은 $12$, $- 11$, $\displaystyle - \frac{7}{4}$이므로 모든 $a _{1}$의 값의 곱은 $\displaystyle 12 \times \left( - 11 \right) \times \left( - \frac{7}{4} \right) = 231$