공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제곱수 되는 사차식

문제

자연수 $x$ 에 대하여 $x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + x + 1$ 이 어떤 자연수의 제곱이 되는 $x$ 의 개수를 구하는 과정이다.


	$x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + x + 1 = y ^{2}$ ( $y$ 는 자연수) 라 하자. $4 x ^{4} + 4 x ^{3} + 4 x ^{2} + 4 x + 4 = ( 2 y ) ^{2}$ $( {\square {( \text{가} )}} ^{2} )$ $+ ( 3 x ^{2} + 4 x + 4 ) = ( 2 y ) ^{2}$ $\cdots$ ㉠ $( 2 x ^{2} + x + 1 ) ^{2} - ( x - 3 ) ( x + 1 ) = ( 2 y ) ^{2}$ $\cdots$ ㉡ $( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0$ 이면 ㉡ 에서 $2 x ^{2} + x + 1 > 2 y$ 이고 ㉠ 에서 (가) $< 2 y$ 만족하는 자연수 $y$ 는 존재하지 않는다. 따라서 $( x - 3 ) ( x + 1 ) \leq 0$ 이므로 $- 1 \leq x \leq 3$ 이다. 그러므로 $x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + x + 1$ 을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 $x$ 의 개수는 (나)

$( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0$ 이면 ㉡ 에서 $2 x ^{2} + x + 1 > 2 y$ 이고 ㉠ 에서 (가) 이므로 만족하는 자연수 $y$ 는 존재하지 않는다.

따라서 $( x - 3 ) ( x + 1 ) \leq 0$ 이므로 $- 1 \leq x \leq 3$ 이다.

그러므로 $x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + x + 1$ 을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 $x$ 의 개수는 (나) 개이다.

위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 것은 ? [4점] (가) (나) ① $2 x ^{2} + 1$ $1$ ② $2 x ^{2} + 2 x$ $1$ ③ $2 x ^{2} + x$ $1$ ④ $2 x ^{2} + 2 x$ $2$ ⑤ $2 x ^{2} + x$ $2$

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③

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해설

[출제의도] 식을 변형하는 과정 추론하기 $x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + x + 1 = y ^{2}$ ( $y$ 는 자연수) 라 하자. $4 x ^{4} + 4 x ^{3} + 4 x ^{2} + 4 x + 4 = ( 2 y ) ^{2}$ $( {\square {2 x ^{2} + x}} ^{2} )$ $+ ( 3 x ^{2} + 4 x + 4 ) = ( 2 y ) ^{2}$ $\cdots$ ㉠ $( 2 x ^{2} + x + 1 ) ^{2} - ( x - 3 ) ( x + 1 ) = ( 2 y ) ^{2}$ $\cdots$ ㉡ $( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0$ 이면 ㉡ 에서 $2 x ^{2} + x + 1 > 2 y$ 이고 ㉠ 에서 $2 x ^{2} + x$ 이므로 만족하는 자연수 $y$ 는 존재하지 않는다. 따라서 $( x - 3 ) ( x + 1 ) \leq 0$ 이므로 $- 1 \leq x \leq 3$ 이다. 그러므로 $x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + x + 1$ 을 어떤 자연수의 제곱이 되게 하는 자연수 $x$ 의 개수는 개이다.

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