공통수학1복소수AI기본 문제 (3점 중반)

제곱이 순허수일 때 네제곱

문제

실수 xx에 대하여 (x+i)2( x + i ) ^{2}이 순허수일 때, (x+i)4( x + i ) ^{4}의 값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점]

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-4

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해설

(x+i)2=x2+2ξ+i2=(x2−1)+2ξ( x + i ) ^{2} = x ^{2} + 2 \xi + i ^{2} = ( x ^{2} - 1 ) + 2 \xi 순허수이려면 실수부분이 00이고 허수부분이 00이 아니어야 하므로 x2−1=0x ^{2} - 1 = 0, 2x≠02 x \ne 0 즉 x=1x = 1 또는 x=−1x = - 1 x=1x = 1이면 (x+i)2=2i( x + i ) ^{2} = 2 i, x=−1x = - 1이면 (x+i)2=−2i( x + i ) ^{2} = - 2 i 따라서 (x+i)4=((x+i)2)2=(±2i)2=−4( x + i ) ^{4} = \left( ( x + i ) ^{2} \right) ^{2} = ( \pm 2 i ) ^{2} = - 4

태그

#복소수#순허수가 될 조건#거듭제곱

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