공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제곱이 실수인 복소수

문제

실수 aa에 대하여 복소수 zz를 z=a2+(1+i)a−6(2+i)z = a ^{2} + \left( 1 + i \right) a - 6 \left( 2 + i \right)라 하자. z2z ^{2}이 실수가 되도록 하는 모든 aa의 값의 합은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①−4- 4②−1- 1③22④55⑤88

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④

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해설

z=a2+(1+i)a−6(2+i)=(a2+a−12)+(a−6)iz = a ^{2} + \left( 1 + i \right) a - 6 \left( 2 + i \right) = \left( a ^{2} + a - 12 \right) + \left( a - 6 \right) i z2z ^{2}이 실수가 되려면 a2+a−12=0a ^{2} + a - 12 = 0 또는 a−6=0a - 6 = 0이어야 한다. a2+a−12=(a+4)(a−3)=0a ^{2} + a - 12 = \left( a + 4 \right) \left( a - 3 \right) = 0에서 a=−4a = - 4 또는 a=3a = 3 a−6=0a - 6 = 0에서 a=6a = 6 따라서 z2z ^{2}이 실수가 되도록 하는 모든 실수 aa의 값의 합은 −4+3+6=5- 4 + 3 + 6 = 5

태그

#복소수#실수 조건

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