공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제곱이 실수인 복소수

문제

55 이하의 두 자연수 m,nm , n에 대하여 복소수 zz를 z=(m−n)+(m+n−4)iz = \left( m - n \right) + \left( m + n - 4 \right) i라 하자. z2z ^{2}이 실수가 되도록 하는 m,nm , n의 모든 순서쌍 (m,n)\left( m , n \right)의 개수는? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점] ①55②77③99④1111⑤1313

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②

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해설

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기 z2z ^{2}이 실수가 되려면 m−n=0m - n = 0 또는 m+n−4=0m + n - 4 = 0이어야 한다. m=nm = n 또는 m+n=4m + n = 4 (ⅰ) m=nm = n일 때 m=nm = n을 만족시키는 55 이하의 두 자연수 m,nm , n의 모든 순서쌍은 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\left( 1 , 1 \right) , \left( 2 , 2 \right) , \left( 3 , 3 \right) , \left( 4 , 4 \right) , \left( 5 , 5 \right) (ⅱ) m+n=4m + n = 4일 때 m+n=4m + n = 4를 만족시키는 55 이하의 두 자연수 m,nm , n의 모든 순서쌍은 (1,3),(2,2),(3,1)\left( 1 , 3 \right) , \left( 2 , 2 \right) , \left( 3 , 1 \right) (ⅰ), (ⅱ)에서 (2,2)\left( 2 , 2 \right)는 중복되므로 z2z ^{2}이 실수가 되도록 하는 55 이하의 두 자연수 m,nm , n의 모든 순서쌍 (m,n)\left( m , n \right)의 개수는 77

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#복소수#실수 조건

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