제곱근 합 부등식 귀납법

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 부등식의 성질 추론하기 (ⅰ) $n = 1$일 때 (좌변)$=$ $\displaystyle \square {\frac{1}{\sqrt{2}}}$$< 2 =$(우변)이므로 성립한다. (ⅱ) $n = k$ 일 때 부등식이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2 k}} < 2 \sqrt{k}$ $n = k + 1$일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2 k + 2}} -$$\displaystyle \square {2 \sqrt{k + 1}}$ $<$ $\displaystyle 2 \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{2 k + 2}} -$$\displaystyle \square {2 \sqrt{k + 1}}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{k ^{2} + k} + 1 - 2 \sqrt{2} ( k + 1 )}{\sqrt{2 k + 2}}$ 이 때, $\displaystyle \left( 2 \sqrt{2} \sqrt{k ^{2} + k} + 1 ^{} \right) ^{2} - \left\{ 2 \sqrt{2} ( k + 1 ) \right\} ^{2}$$\square {<}$ $0$이므로 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{6}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2 k + 2}} < 2 \sqrt{k + 1}$ 그러므로 $n = k + 1$일 때도 부등식은 성립한다. 따라서 주어진 부등식은 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다